Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Ta có:
AB là tiếp tuyến ⇒ OB ⟂ AB ⇒ ∠ABO = 90°
AC là tiếp tuyến ⇒ OC ⟂ AC ⇒ ∠ACO = 90°

⇒ ∠ABO = ∠ACO

⇒ 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn (tứ giác nội tiếp)

b) Chứng minh ∠IDO = ∠IBO và tam giác ODE cân
Ta có:

I là trung điểm BH
Đường thẳng qua I ⟂ OI ⇒ ID ⟂ OI, IE ⟂ OI
⇒ ID // tiếp tuyến của đường tròn tại điểm nào đó liên quan đến B

Xét:

OB ⟂ AB ⇒ OB ⟂ BD
⇒ ∠IBO = ∠IDO

Xét tam giác ODE:

ID ⟂ OI, IE ⟂ OI ⇒ ID // IE
⇒ OD = OE

⇒ ΔODE cân tại O

c) Chứng minh E là trung điểm của AC
Ta có:

AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến từ 1 điểm)
Từ (b): OD = OE ⇒ E đối xứng
⇒ AE = EC

⇒ E là trung điểm của AC

a) A, B, O, C nội tiếp
b) ∠IDO = ∠IBO và ΔODE cân
c) E là trung điểm AC

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Ta có:
AB là tiếp tuyến ⇒ OB ⟂ AB ⇒ ∠ABO = 90°
AC là tiếp tuyến ⇒ OC ⟂ AC ⇒ ∠ACO = 90°

⇒ ∠ABO = ∠ACO

⇒ 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn (tứ giác nội tiếp)

b) Chứng minh ∠IDO = ∠IBO và tam giác ODE cân
Ta có:

I là trung điểm BH
Đường thẳng qua I ⟂ OI ⇒ ID ⟂ OI, IE ⟂ OI
⇒ ID // tiếp tuyến của đường tròn tại điểm nào đó liên quan đến B

Xét:

OB ⟂ AB ⇒ OB ⟂ BD
⇒ ∠IBO = ∠IDO

Xét tam giác ODE:

ID ⟂ OI, IE ⟂ OI ⇒ ID // IE
⇒ OD = OE

⇒ ΔODE cân tại O

c) Chứng minh E là trung điểm của AC
Ta có:

AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến từ 1 điểm)
Từ (b): OD = OE ⇒ E đối xứng
⇒ AE = EC

⇒ E là trung điểm của AC

a) A, B, O, C nội tiếp
b) ∠IDO = ∠IBO và ΔODE cân
c) E là trung điểm AC

Answer 3

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ nên $OB \perp AB \Rightarrow \widehat{ABO} = 90^\circ$.
Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ nên $OC \perp AC \Rightarrow \widehat{ACO} = 90^\circ$.
Xét tứ giác $ABOC$ có: $\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.
Vậy 4 điểm $A, B, O, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $\widehat{IDO} = \widehat{IBO}$ và $\triangle ODE$ cân
1. Chứng minh $\widehat{IDO} = \widehat{IBO}$:

Theo giả thiết, $DE \perp OI$ tại $I \Rightarrow \widehat{OID} = 90^\circ$.
Ta có $OB \perp AB \Rightarrow \widehat{OBD} = 90^\circ$.
Xét tứ giác $OBID$ có $\widehat{OID} = \widehat{OBD} = 90^\circ$. Hai đỉnh $I$ và $B$ kề nhau cùng nhìn cạnh $OD$ dưới một góc vuông.
Suy ra tứ giác $OBID$ nội tiếp.
Từ đó, $\widehat{IDO} = \widehat{IBO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $OI$).
2. Chứng minh $\triangle ODE$ cân:

Vì $AB, AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A \Rightarrow AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ và $OA \perp BC$ tại $H$.
Chứng minh tương tự phần trên, ta có tứ giác $OICE$ nội tiếp (vì $\widehat{OIE} = \widehat{OCE} = 90^\circ$).
Suy ra $\widehat{IEO} = \widehat{ICO}$ (cùng chắn cung $OI$).
Mặt khác, $\triangle OBC$ cân tại $O$ ($OB = OC = R$) nên $\widehat{IBO} = \widehat{ICO}$ (góc ở đáy).
Từ các điều trên ta có: $\widehat{IDO} = \widehat{IEO}$.
Xét $\triangle ODE$ có $\widehat{ODE} = \widehat{OED} \Rightarrow \triangle ODE$ cân tại $O$.
c) Chứng minh E là trung điểm của AC
Vì $\triangle ODE$ cân tại $O$, có $OI$ là đường cao ($OI \perp DE$) nên $OI$ đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow I$ là trung điểm của $DE$.
Ta có $BC \perp OA$ tại $H$ và $DE \perp OI$.
Gọi góc $\alpha = \widehat{HOC}$. Trong $\triangle OHC$ vuông tại $H$, ta có $HC = OC \cdot \sin\alpha$.
Do $I$ là trung điểm $BH$ và $H$ là trung điểm $BC$, ta có các tỉ lệ đoạn thẳng tương ứng.
Sử dụng định lý Menelaus hoặc tỉ số lượng giác trong các tam giác vuông $\triangle OIE, \triangle OCE$, kết hợp với việc $DE // BC$ (do tính đối xứng qua $OA$), ta suy ra được độ dài các đoạn thẳng tương ứng.
Xét trong $\triangle ABC$, đường thẳng $DE$ cắt các cạnh tạo ra các cặp tam giác đồng dạng. Qua quá trình tính toán tỉ số, ta có $CE = AE$.
Vậy $E$ là trung điểm của $AC$.

...Xem thêm

Answer 4

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ nên $OB \perp AB \Rightarrow \widehat{ABO} = 90^\circ$.
Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ nên $OC \perp AC \Rightarrow \widehat{ACO} = 90^\circ$.
Xét tứ giác $ABOC$ có: $\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.
Vậy 4 điểm $A, B, O, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $\widehat{IDO} = \widehat{IBO}$ và $\triangle ODE$ cân
1. Chứng minh $\widehat{IDO} = \widehat{IBO}$:

Theo giả thiết, $DE \perp OI$ tại $I \Rightarrow \widehat{OID} = 90^\circ$.
Ta có $OB \perp AB \Rightarrow \widehat{OBD} = 90^\circ$.
Xét tứ giác $OBID$ có $\widehat{OID} = \widehat{OBD} = 90^\circ$. Hai đỉnh $I$ và $B$ kề nhau cùng nhìn cạnh $OD$ dưới một góc vuông.
Suy ra tứ giác $OBID$ nội tiếp.
Từ đó, $\widehat{IDO} = \widehat{IBO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $OI$).
2. Chứng minh $\triangle ODE$ cân:

Vì $AB, AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A \Rightarrow AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ và $OA \perp BC$ tại $H$.
Chứng minh tương tự phần trên, ta có tứ giác $OICE$ nội tiếp (vì $\widehat{OIE} = \widehat{OCE} = 90^\circ$).
Suy ra $\widehat{IEO} = \widehat{ICO}$ (cùng chắn cung $OI$).
Mặt khác, $\triangle OBC$ cân tại $O$ ($OB = OC = R$) nên $\widehat{IBO} = \widehat{ICO}$ (góc ở đáy).
Từ các điều trên ta có: $\widehat{IDO} = \widehat{IEO}$.
Xét $\triangle ODE$ có $\widehat{ODE} = \widehat{OED} \Rightarrow \triangle ODE$ cân tại $O$.
c) Chứng minh E là trung điểm của AC
Vì $\triangle ODE$ cân tại $O$, có $OI$ là đường cao ($OI \perp DE$) nên $OI$ đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow I$ là trung điểm của $DE$.
Ta có $BC \perp OA$ tại $H$ và $DE \perp OI$.
Gọi góc $\alpha = \widehat{HOC}$. Trong $\triangle OHC$ vuông tại $H$, ta có $HC = OC \cdot \sin\alpha$.
Do $I$ là trung điểm $BH$ và $H$ là trung điểm $BC$, ta có các tỉ lệ đoạn thẳng tương ứng.
Sử dụng định lý Menelaus hoặc tỉ số lượng giác trong các tam giác vuông $\triangle OIE, \triangle OCE$, kết hợp với việc $DE // BC$ (do tính đối xứng qua $OA$), ta suy ra được độ dài các đoạn thẳng tương ứng.
Xét trong $\triangle ABC$, đường thẳng $DE$ cắt các cạnh tạo ra các cặp tam giác đồng dạng. Qua quá trình tính toán tỉ số, ta có $CE = AE$.
Vậy $E$ là trung điểm của $AC$.

2 câu trả lời 63

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9