Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

d) Chứng minh $B E^{2} > 2 \cdot A D \cdot D H$
- Ta có: $\hat{C} = 45^{\circ} :$
- Trong tam giác vuông ADC tại D: Vì $\hat{C} = 45^{\circ}$ nên $∆$ ADC vuông cân tại D.
=> AD = DC.
- Trong tam giác vuông BEC tại E: Vì $\hat{C} = 45^{\circ}$ nên $∆$ BEC vuông cân tại E.
=> BE = EC và BC = $\sqrt{2} \cdot B E$ (theo định lý Pythagoras).
=> $B E^{2} = \frac{B C^{2}}{2} \Rightarrow 2 \cdot B E^{2} = B C^{2} .$
- Xét $∆$ BDH và $∆$ ADC, ta có:
$\hat{B D H} = \hat{A D C} = 90^{\circ} .$
$\hat{H B D} = \hat{C A D}$ (cùng phụ với $\hat{C}$ ).
=> $∆ B D H ~ △ A D C$ (g.g).
Từ đó ta có tỉ số: $\frac{B D}{A D} = \frac{D H}{D C}$
=> $A D \cdot D H = B D \cdot D C .$
- Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $B E^{2} > 2 \cdot (B D \cdot D C)$
Thay $2 \cdot B E^{2} = B C^{2}$ vào, ta cần chứng minh: $\frac{B C^{2}}{2} > 2 \cdot B D \cdot D C \Leftrightarrow B C^{2} > 4 \cdot B D \cdot D C$
- Áp dụng bất đẳng thức đại số:
+ Ta có độ dài đoạn thẳng BC = BD + DC.
+ Theo bất đẳng thức AM-GM (Cosi) cho hai số dương BD và DC:
${(B D + D C)}^{2} \geq 4 \cdot B D \cdot D C$
+ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BD = DC (tức là D là trung điểm BC, hay $∆$ ABC cân tại A).
+ Trong trường hợp tổng quát của tam giác nhọn ABC có $\hat{C} = 45^{\circ}$ và $A B \neq A C :$
$B C^{2} > 4 \cdot B D \cdot D C$
=> $\frac{B C^{2}}{2} > 2 \cdot B D \cdot D C$
=> $B E^{2} > 2 \cdot A D \cdot D H$ (Điều phải chứng minh)

...Xem thêm

Answer 2

d) Chứng minh $B E^{2} > 2 \cdot A D \cdot D H$
- Ta có: $\hat{C} = 45^{\circ} :$
- Trong tam giác vuông ADC tại D: Vì $\hat{C} = 45^{\circ}$ nên $∆$ ADC vuông cân tại D.
=> AD = DC.
- Trong tam giác vuông BEC tại E: Vì $\hat{C} = 45^{\circ}$ nên $∆$ BEC vuông cân tại E.
=> BE = EC và BC = $\sqrt{2} \cdot B E$ (theo định lý Pythagoras).
=> $B E^{2} = \frac{B C^{2}}{2} \Rightarrow 2 \cdot B E^{2} = B C^{2} .$
- Xét $∆$ BDH và $∆$ ADC, ta có:
$\hat{B D H} = \hat{A D C} = 90^{\circ} .$
$\hat{H B D} = \hat{C A D}$ (cùng phụ với $\hat{C}$ ).
=> $∆ B D H ~ △ A D C$ (g.g).
Từ đó ta có tỉ số: $\frac{B D}{A D} = \frac{D H}{D C}$
=> $A D \cdot D H = B D \cdot D C .$
- Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $B E^{2} > 2 \cdot (B D \cdot D C)$
Thay $2 \cdot B E^{2} = B C^{2}$ vào, ta cần chứng minh: $\frac{B C^{2}}{2} > 2 \cdot B D \cdot D C \Leftrightarrow B C^{2} > 4 \cdot B D \cdot D C$
- Áp dụng bất đẳng thức đại số:
+ Ta có độ dài đoạn thẳng BC = BD + DC.
+ Theo bất đẳng thức AM-GM (Cosi) cho hai số dương BD và DC:
${(B D + D C)}^{2} \geq 4 \cdot B D \cdot D C$
+ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BD = DC (tức là D là trung điểm BC, hay $∆$ ABC cân tại A).
+ Trong trường hợp tổng quát của tam giác nhọn ABC có $\hat{C} = 45^{\circ}$ và $A B \neq A C :$
$B C^{2} > 4 \cdot B D \cdot D C$
=> $\frac{B C^{2}}{2} > 2 \cdot B D \cdot D C$
=> $B E^{2} > 2 \cdot A D \cdot D H$ (Điều phải chứng minh)

1 câu trả lời 136

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8