Bài toán:
Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn (9x + 11y)(11x + 5y)$⋮$19. Chứng minh rằng (9x + 11y)(11x + 5y)$⋮$361.
Giải
Ta biết rằng 361 = 19².
- Vì (9x + 11y)(11x + 5y) $⋮$19 và 19 là một số nguyên tố, nên theo tính chất số nguyên tố, ít nhất một trong hai thừa số phải chia hết cho 19:
(9x + 11y) $⋮$19
(11x + 5y) $⋮$ 19
- Xét biểu thức kết hợp giữa hai thừa số để triệt tiêu x hoặc y. Ta xét hiệu sau:
A = (11x + 5y) - (9x + 11y) = 2x - 6y
- Xét biểu thức:
M = 2(9x + 11y) + (11x + 5y)
M = 18x + 22y + 11x + 5y
M = 29x + 27y
- Cách này cũng khá lẻ. Hãy thử cách lập luận bằng đồng dư thức:
+ Giả sử (9x + 11y) $⋮$ 19. Ta có:
$9x+11y\equiv 0(mod19)$
$\Rightarrow 9x\equiv -11y(mod19)$
$\Rightarrow 9x\equiv 8y(mod19)$ \quad (vì  -$11\equiv 8(mod19)$)
- Ta xét thừa số thứ hai (11x + 5y) dưới mô-đun 19:
+ Nhân thêm 9 vào biểu thức (vì 9 không chia hết cho 19, việc nhân này không làm thay đổi tính chia hết):
9(11x + 5y) = 99x + 45y
Thay $9x\equiv 8y(mod19)$ vào:
$99x+45y=11(9x)+45y\equiv 11(8y)+45y(mod19)$
$\equiv 88y+45y(mod19)$
$\equiv 133y(mod19)$
Kiểm tra số 133: 133 = 19 $\times$ 7, nên $133\equiv 0(mod19)$.
Do đó: 9(11x + 5y) c$133\equiv 0(mod19)$
Vì ƯCLN(9, 19) = 1, nên bắt buộc (11x + 5y) $\mathrm{⋮}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}19}$.
- Nếu $(9x+11y)\mathrm{⋮}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}19}$ thì từ chứng minh trên ta cũng có $(11x+5y)\mathrm{⋮}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}19}.$
- Ngược lại, nếu $(11x+5y)\mathrm{⋮}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}19}$, chứng minh tương tự ta cũng có $(9x+11y)\mathrm{⋮}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}19}.$
- Vì cả hai thừa số đều chia hết cho 19, nên tích của chúng phải chia hết cho $19\times 19$:
$(9x+11y)(11x+5y)\mathrm{⋮}{\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}19}}^2$
=> $(9x+11y)(11x+5y)\mathrm{⋮}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}361}$ (Điều phải chứng minh)