Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tóm tắt đề bài gốc
Cho tam giác ABCABC nhọn nội tiếp đường tròn (O)(O). Đường tròn đường kính BCBC cắt ABAB, ACAC tại EE và FF (E≠BE=B, F≠CF=C). Hai đường thẳng BFBF và CECE cắt nhau tại HH.

Chứng minh HH là trực tâm của ΔABCΔABC.
Gọi KK là điểm đối xứng của HH qua BCBC. Chứng minh tứ giác ABKCABKC nội tiếp đường tròn.

📝 Giải phần 1: Chứng minh HH là trực tâm của ΔABCΔABC
Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác. Ta sẽ chứng minh CECE và BFBF là hai đường cao của ΔABCΔABC:

Vì BCBC là đường kính của đường tròn đi qua EE, theo định lý Thales thì góc nội tiếp chắn đường kính là góc vuông:∠BEC=90∘ ⟹ CE⊥AB∠BEC=90∘⟹CE⊥AB=> CECE là đường cao của ΔABCΔABC kẻ từ đỉnh CC xuống cạnh ABAB.
Tương tự, BCBC là đường kính của đường tròn đi qua FF, nên:∠BFC=90∘ ⟹ BF⊥AC∠BFC=90∘⟹BF⊥AC=> BFBF là đường cao của ΔABCΔABC kẻ từ đỉnh BB xuống cạnh ACAC.
Hai đường cao CECE và BFBF cắt nhau tại HH, do đó HH chính là trực tâm của ΔABCΔABC.

📝 Giải phần 2: Chứng minh tứ giác ABKCABKC nội tiếp
Vì KK là điểm đối xứng của HH qua BCBC nên:Đường thẳng BCBC là trung trực của đoạn HKHK, suy ra BH=BKBH=BK, CH=CKCH=CK và ∠BKC=∠BHC∠BKC=∠BHC.
Với tính chất của trực tâm tam giác: Tổng hai góc tạo bởi hai đường cao bằng 180∘180∘ trừ góc ở đỉnh đối diện, hay:∠BHC=180∘−∠BAC∠BHC=180∘−∠BAC
Kết hợp với ∠BKC=∠BHC∠BKC=∠BHC, ta có:∠BKC=180∘−∠BAC ⟹ ∠BAC+∠BKC=180∘∠BKC=180∘−∠BAC⟹∠BAC+∠BKC=180∘
Theo tiêu chí tứ giác nội tiếp: Nếu tổng hai góc đối nhau của tứ giác bằng 180∘180∘ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. Do đó tứ giác ABKCABKC nội tiếp đường tròn.

🎨 Hướng dẫn vẽ hình chi tiết
Bạn có thể vẽ theo các bước sau:

Vẽ tam giác ABCABC nhọn: Dùng thước thẳng vẽ 3 cạnh AB,BC,CAAB,BC,CA sao cho tất cả các góc của tam giác đều nhỏ hơn 90∘90∘.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp (O)(O) của ΔABCΔABC:Lấy trung điểm của ABAB và ACAC, vẽ hai đường thẳng vuông góc tại mỗi trung điểm. Giao điểm của hai đường thẳng này là tâm OO.
Vẽ đường tròn có bán kính OA=OB=OCOA=OB=OC đi qua 3 điểm A,B,CA,B,C.
Vẽ đường tròn đường kính BCBC: Lấy trung điểm MM của BCBC làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính bằng độ dài MBMB (hoặc MCMC).
Tìm điểm EE và FF: Đường tròn ở bước 3 sẽ cắt ABAB tại điểm EE (khác BB) và cắt ACAC tại điểm FF (khác CC).
Tìm điểm HH: Vẽ hai đường thẳng CECE và BFBF, giao điểm của hai đường này chính là HH (trực tâm tam giác ABCABC).
Tìm điểm KK: Vẽ đường thẳng vuông góc với BCBC tại trung điểm NN của đoạn HKHK (tức là vẽ đường thẳng đi qua HH vuông góc BCBC, kéo dài về phía đối diện với AA đến điểm KK sao cho HN=NKHN=NK).
Hoàn thành tứ giác ABKCABKC: Nối các điểm A,B,K,CA,B,K,C lại với nhau, bạn sẽ thấy tứ giác này nội tiếp một đường tròn.

...Xem thêm

Answer 2

Tóm tắt đề bài gốc
Cho tam giác ABCABC nhọn nội tiếp đường tròn (O)(O). Đường tròn đường kính BCBC cắt ABAB, ACAC tại EE và FF (E≠BE=B, F≠CF=C). Hai đường thẳng BFBF và CECE cắt nhau tại HH.

Chứng minh HH là trực tâm của ΔABCΔABC.
Gọi KK là điểm đối xứng của HH qua BCBC. Chứng minh tứ giác ABKCABKC nội tiếp đường tròn.

📝 Giải phần 1: Chứng minh HH là trực tâm của ΔABCΔABC
Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác. Ta sẽ chứng minh CECE và BFBF là hai đường cao của ΔABCΔABC:

Vì BCBC là đường kính của đường tròn đi qua EE, theo định lý Thales thì góc nội tiếp chắn đường kính là góc vuông:∠BEC=90∘ ⟹ CE⊥AB∠BEC=90∘⟹CE⊥AB=> CECE là đường cao của ΔABCΔABC kẻ từ đỉnh CC xuống cạnh ABAB.
Tương tự, BCBC là đường kính của đường tròn đi qua FF, nên:∠BFC=90∘ ⟹ BF⊥AC∠BFC=90∘⟹BF⊥AC=> BFBF là đường cao của ΔABCΔABC kẻ từ đỉnh BB xuống cạnh ACAC.
Hai đường cao CECE và BFBF cắt nhau tại HH, do đó HH chính là trực tâm của ΔABCΔABC.

📝 Giải phần 2: Chứng minh tứ giác ABKCABKC nội tiếp
Vì KK là điểm đối xứng của HH qua BCBC nên:Đường thẳng BCBC là trung trực của đoạn HKHK, suy ra BH=BKBH=BK, CH=CKCH=CK và ∠BKC=∠BHC∠BKC=∠BHC.
Với tính chất của trực tâm tam giác: Tổng hai góc tạo bởi hai đường cao bằng 180∘180∘ trừ góc ở đỉnh đối diện, hay:∠BHC=180∘−∠BAC∠BHC=180∘−∠BAC
Kết hợp với ∠BKC=∠BHC∠BKC=∠BHC, ta có:∠BKC=180∘−∠BAC ⟹ ∠BAC+∠BKC=180∘∠BKC=180∘−∠BAC⟹∠BAC+∠BKC=180∘
Theo tiêu chí tứ giác nội tiếp: Nếu tổng hai góc đối nhau của tứ giác bằng 180∘180∘ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. Do đó tứ giác ABKCABKC nội tiếp đường tròn.

🎨 Hướng dẫn vẽ hình chi tiết
Bạn có thể vẽ theo các bước sau:

Vẽ tam giác ABCABC nhọn: Dùng thước thẳng vẽ 3 cạnh AB,BC,CAAB,BC,CA sao cho tất cả các góc của tam giác đều nhỏ hơn 90∘90∘.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp (O)(O) của ΔABCΔABC:Lấy trung điểm của ABAB và ACAC, vẽ hai đường thẳng vuông góc tại mỗi trung điểm. Giao điểm của hai đường thẳng này là tâm OO.
Vẽ đường tròn có bán kính OA=OB=OCOA=OB=OC đi qua 3 điểm A,B,CA,B,C.
Vẽ đường tròn đường kính BCBC: Lấy trung điểm MM của BCBC làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính bằng độ dài MBMB (hoặc MCMC).
Tìm điểm EE và FF: Đường tròn ở bước 3 sẽ cắt ABAB tại điểm EE (khác BB) và cắt ACAC tại điểm FF (khác CC).
Tìm điểm HH: Vẽ hai đường thẳng CECE và BFBF, giao điểm của hai đường này chính là HH (trực tâm tam giác ABCABC).
Tìm điểm KK: Vẽ đường thẳng vuông góc với BCBC tại trung điểm NN của đoạn HKHK (tức là vẽ đường thẳng đi qua HH vuông góc BCBC, kéo dài về phía đối diện với AA đến điểm KK sao cho HN=NKHN=NK).
Hoàn thành tứ giác ABKCABKC: Nối các điểm A,B,K,CA,B,K,C lại với nhau, bạn sẽ thấy tứ giác này nội tiếp một đường tròn.

1 câu trả lời 53

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9