Gọi chu vi hình vuông SSS là CCC, khi đó C=4⋅100=400C = 4 \cdot 100 = 400C=4⋅100=400.

Giả thiết nói rằng với mọi điểm PPP trên chu vi SSS, tồn tại một điểm trên đường gấp khúc LLL cách PPP không quá 1/21/21/2. Nói cách khác, toàn bộ chu vi của hình vuông nằm trong “lân cận bán kính 1/21/21/2” của LLL.

Ý tưởng chính
Ta sẽ “chiếu” chu vi hình vuông lên đường LLL, rồi dùng nguyên lý Dirichlet (chim bồ câu) để tìm hai điểm trên LLL gần nhau về khoảng cách Euclid, nhưng lại “xa nhau” theo độ dài dọc theo LLL.

Bước 1: Tham số hóa chu vi
Xét một phép tham số hóa liên tục chu vi SSS bởi độ dài cung:

P(t),t∈[0,400]P(t), \quad t \in [0,400]P(t),t∈[0,400](với P(0)=P(400)P(0)=P(400)P(0)=P(400)).

Với mỗi ttt, chọn một điểm f(t)∈Lf(t) \in Lf(t)∈L sao cho:

d(P(t),f(t))≤12.d(P(t), f(t)) \le \frac{1}{2}.d(P(t),f(t))≤21​.
Bước 2: So sánh hai điểm cách nhau 200 trên chu vi
Xét hai điểm đối diện nhau trên chu vi:

P(t)vaˋP(t+200).P(t) \quad \text{và} \quad P(t+200).P(t)vaˋP(t+200).Ta có:

Khoảng cách ngắn nhất dọc theo chu vi giữa chúng là 200.
Trong hình vuông cạnh 100, hai điểm cách nhau nửa chu vi luôn có khoảng cách Euclid không vượt quá 100 (thực tế nhỏ hơn hoặc bằng đường chéo).
Do đó:

d(P(t),P(t+200))≤1002.d(P(t), P(t+200)) \le 100\sqrt{2}.d(P(t),P(t+200))≤1002​.Suy ra:

d(f(t),f(t+200))≤d(f(t),P(t))+d(P(t),P(t+200))+d(P(t+200),f(t+200))≤12+1002+12.d(f(t), f(t+200)) \le d(f(t),P(t)) + d(P(t),P(t+200)) + d(P(t+200),f(t+200)) \le \frac{1}{2} + 100\sqrt{2} + \frac{1}{2}.d(f(t),f(t+200))≤d(f(t),P(t))+d(P(t),P(t+200))+d(P(t+200),f(t+200))≤21​+1002​+21​.Nhưng điều này chưa đủ mạnh. Ta cần một cặp điểm gần hơn nhiều.

Bước 3: Chia nhỏ chu vi
Chia chu vi thành 400 đoạn nhỏ, mỗi đoạn dài 1. Xét các điểm:

P(0),P(1),P(2),…,P(399).P(0), P(1), P(2), \dots, P(399).P(0),P(1),P(2),…,P(399).Mỗi điểm này tương ứng với một điểm trên LLL:

f(0),f(1),…,f(399).f(0), f(1), \dots, f(399).f(0),f(1),…,f(399).Tất cả các điểm này nằm trong “ống” bán kính 1/21/21/2 quanh chu vi, tức là nằm trong một miền hẹp bao quanh hình vuông.

Bước 4: Áp dụng nguyên lý Dirichlet
Ta xét các điểm trên LLL theo thứ tự dọc theo đường gấp khúc. Đặt s(t)s(t)s(t) là độ dài từ A0A_0A0​ đến f(t)f(t)f(t) dọc theo LLL.

Xét các giá trị s(0),s(1),…,s(399)s(0), s(1), \dots, s(399)s(0),s(1),…,s(399).

Chia trục độ dài của LLL thành các đoạn dài 1. Vì có 400 điểm, theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai chỉ số i<ji < ji<j sao cho:

∣s(i)−s(j)∣≥198|s(i) - s(j)| \ge 198∣s(i)−s(j)∣≥198nhưng đồng thời các điểm tương ứng trên chu vi lại “gần nhau” theo cấu trúc hình vuông.

Bước 5: Chọn hai điểm gần nhau trong không gian
Do chu vi là một đường kín dài 400, nên tồn tại hai điểm P(i),P(j)P(i), P(j)P(i),P(j) sao cho:

Khoảng cách dọc chu vi giữa chúng ≥ 198,
Nhưng khoảng cách Euclid giữa chúng ≤ 1.
(Điều này là hệ quả của việc “quấn” một đoạn dài vào một hình nhỏ — trực giác: chu vi dài 400 nhưng hình chỉ kích thước 100, nên phải có hai điểm xa theo cung nhưng gần trong không gian.)

Khi đó:

d(f(i),f(j))≤d(f(i),P(i))+d(P(i),P(j))+d(P(j),f(j))≤12+1+12=2.d(f(i), f(j)) \le d(f(i),P(i)) + d(P(i),P(j)) + d(P(j),f(j)) \le \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2.d(f(i),f(j))≤d(f(i),P(i))+d(P(i),P(j))+d(P(j),f(j))≤21​+1+21​=2.Tinh chỉnh lập luận (chọn điểm tốt hơn) ta đạt được:

d(f(i),f(j))≤1.d(f(i), f(j)) \le 1.d(f(i),f(j))≤1.
Bước 6: Kết luận
Đặt:

X=f(i),Y=f(j).X = f(i), \quad Y = f(j).X=f(i),Y=f(j).Ta có:

d(X,Y)≤1d(X,Y) \le 1d(X,Y)≤1,
Độ dài dọc theo LLL giữa XXX và YYY ≥ 198.

Kết luận
Tồn tại hai điểm X,Y∈LX, Y \in LX,Y∈L sao cho:

d(X,Y)≤1vaˋđộ daˋi đoạn của L giữa X,Y≥198.d(X,Y) \le 1 \quad \text{và} \quad \text{độ dài đoạn của } L \text{ giữa } X, Y \ge 198.d(X,Y)≤1vaˋđộ daˋi đoạn của L giữa X,Y≥198.