Dưới đây là lời giải chi tiết và cách trình bày chuẩn để bạn tham khảo:

a) Chứng minh $\Delta ABM = \Delta ACM$
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$, ta có:

AB = AC (theo giả thiết).
AM là cạnh chung.
MB = MC (vì M là trung điểm của BC).
$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACM$ (theo trường hợp Cạnh - Cạnh - Cạnh).

b) Chứng minh ba điểm C, K, I thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm $C, K, I$ thẳng hàng, chúng ta sẽ chứng minh chúng cùng nằm trên một đường trung tuyến của tam giác $BHM$.

Bước 1: Chứng minh BC // NH và BC = NH

Xét $\Delta ABM = \Delta ACM$ (câu a) $\Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).
Mà $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$ (kề bù) $\Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$.
Vậy $AM \perp BC$.
Bước 2: Xét tam giác BHM

Trong tứ giác $NBCH$, ta có $M$ là trung điểm $BC$ (gt). Nếu ta xét tam giác $BHM$, ta cần tìm mối liên hệ của $K$.
Xét tam giác $NCH$ và các điểm liên quan, theo giả thiết $NC = NH$, $I$ là trung điểm $BH \Rightarrow CI$ là đường trung tuyến của $\Delta BHC$. Tuy nhiên, cách tiếp cận hiệu quả nhất là xét $\Delta BHM$.
Bước 3: Sử dụng tính chất trọng tâm

Trong $\Delta BHM$, ta có MI là đường trung tuyến (vì $I$ là trung điểm $BH$).
Mặt khác, trong $\Delta BNH$ có $MC = MB$ và $NC = NH$. Suy ra $BC$ và $NH$ cắt nhau tại trung điểm $M$. Tứ giác $BNCH$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
$\Rightarrow BN // HC$ và $BN = HC$.
Xét $\Delta BHM$:

$K$ là giao điểm của $BN$ và $HM$. Mà $BN // HC$ (không giúp trực tiếp).
Hãy xét lại: Trong hình bình hành $BNCH$, $HM$ là đường trung tuyến của $\Delta BNH$ ứng với cạnh $BN$.
Thực tế, trong $\Delta BHM$, ta có $K$ chính là giao điểm của các đường trung tuyến.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ và $BNCH$ là hình bình hành $\Rightarrow$ $HM$ là đường trung tuyến của tam giác $BHC$ là không đúng.
Cách trình bày ngắn gọn nhất:

Vì tứ giác $BNCH$ là hình bình hành (hai đường chéo $BC, NH$ cắt nhau tại trung điểm $M$ mỗi đường).
$\Rightarrow BH // NC$ và $BH = NC$.
Trong $\Delta BHM$, $K$ là giao điểm của $BN$ và $HM$.
Theo tính chất hình bình hành và các đường trung tuyến, ta xác định được $K$ là trọng tâm của tam giác $BHM$ (hoặc sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng từ hình bình hành).
Khi $K$ là trọng tâm, và $CI$ đi qua trung điểm $I$ của cạnh đối diện $\Rightarrow$ C, K, I thẳng hàng.

Ta có tam giác $���$ABC cân tại $�$A nên $��=��$AB=AC, và $�$M là trung điểm của $��$BC.

Xét hai tam giác $���$ABM và $���$ACM:

• $��=��$AB=AC (giả thiết)

• $��=��$BM=CM (vì $�$M là trung điểm của $��$BC)

• $��$AM là cạnh chung

⇒ Hai tam giác $���$ABM và $���$ACM bằng nhau theo c.c.c.

$$\mathrm{△}���=\mathrm{△}���$$△ABM=△ACM

Suy ra thêm:

$$\mathrm{\angle }���=\mathrm{\angle }���$$∠BAM=∠MAC

và $��$AM là trục đối xứng của tam giác cân $���$ABC.

• $�$H nằm trên tia đối của $��$NC

• $��=��$NC=NH

⇒ $�$N là trung điểm của $��$CH.

Ta có:

• $�$N là trung điểm $��$CH

• $�$I là trung điểm $��$BH

⇒ $��$BN và $��$CI là hai đường trung tuyến của tam giác $���$BCH.

Vì $�$M là trung điểm $��$BC nên $��$HM là trung tuyến của tam giác $���$BCH.

Do đó:

• $��$BN, $��$HM, $��$CI là ba trung tuyến của tam giác $���$BCH.

Ba trung tuyến đồng quy tại trọng tâm.

Điểm giao của $��$BN và $��$HM là $�$K nên:

$$�\in ��$$K∈CI

⇒ $�,�,�$C,K,I thẳng hàng.

✅ Kết luận: Ba điểm $�,�,�$C,K,I thẳng hàng.