Bài 11: Tam giác ABC vuông tại A
1. Tính độ dài cạnh BC:

Áp dụng định lý Pythagoras cho $\triangle ABC$ vuông tại A:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$\Rightarrow BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

2. Tính BH và CH:

Xét $\triangle ABH$ vuông tại H, áp dụng định lý Pythagoras:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 6^2 - 4,8^2 = 36 - 23,04 = 12,96$
$\Rightarrow BH = \sqrt{12,96} = 3,6$ cm.
Để tính CH, ta chỉ cần lấy BC trừ đi BH:

$$CH = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4$ cm.

Bài 12: Tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh $\triangle ABD \sim \triangle ACE$:

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

$\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^\circ$ (do BD, CE là đường cao).
$\widehat{A}$ là góc chung.

$\Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle ACE$ (g.g).
b) Chứng minh $HB \cdot HD = HC \cdot HE$:

Xét $\triangle HEB$ và $\triangle HDC$ có:

$\widehat{HEB} = \widehat{HDC} = 90^\circ$.
$\widehat{EHB} = \widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \triangle HEB \sim \triangle HDC$ (g.g).

Từ đó ta có tỉ số: $\frac{HE}{HD} = \frac{HB}{HC} \Rightarrow HB \cdot HD = HC \cdot HE$ (đpcm).
c) Chứng minh $\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$:

Từ $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ (câu a), ta có: $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$ có:

$\widehat{A}$ chung.
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC$ (c.g.c).

$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng).

Bài 13: Tam giác DEF vuông tại D
(Bài này bạn đã hỏi ở trên, mình tóm tắt lại nhanh nhé)

a) $\triangle HED \sim \triangle DEF$ (g.g) vì có $\widehat{H} = \widehat{D} = 90^\circ$ và $\widehat{E}$ chung.
b) Tính $DF = 12$ cm (Pythagoras). $DH = \frac{DE \cdot DF}{EF} = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7,2$ cm.
c) $\frac{S_{\triangle DEK}}{S_{\triangle DKF}} = \frac{EK}{KF} = \frac{DE}{DF} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Bài 14: Tam giác ABC có AC=9, AB=12, BC=15
a) Chứng minh $\triangle ABC$ vuông tại A:

Ta có:

$AB^2 + AC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
$BC^2 = 15^2 = 225$.

Vì $AB^2 + AC^2 = BC^2$, theo định lý Pythagoras đảo, $\triangle ABC$ vuông tại A.
b) Chứng minh $\triangle HNM \sim \triangle ABC$:

(Lưu ý: Bạn viết là AHNM đồng dạng AABC, nhưng thường là so sánh hai tam giác)

Xét $\triangle ABH$ có M là trung điểm AH, N là trung điểm BH.

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABH$.

$\Rightarrow MN \parallel AB$ và $MN = \frac{1}{2}AB$.
Vì $MN \parallel AB$ và $AB \perp AC$, nên $MN \perp AC$.
Xét $\triangle HNM$ và $\triangle ABC$:
$\widehat{MHN} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.
Vì $MN \parallel AB$, theo hệ quả định lý Thales hoặc góc đồng vị, ta sẽ thấy các góc tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên, cách nhanh nhất là:

$\triangle HNM$ và $\triangle ABC$ đều là tam giác vuông. Ta có tỉ số:

$\frac{HM}{AC} = \frac{\frac{1}{2}AH}{AC}$ và $\frac{HN}{AB} = \frac{\frac{1}{2}BH}{AB}$.

Thực tế, $\triangle HNM$ sẽ đồng dạng với $\triangle HBA$, mà $\triangle HBA \sim \triangle ABC$.
Kết luận: $\triangle HNM \sim \triangle ABC$ (vì cùng đồng dạng với $\triangle HBA$ theo tỉ lệ $1/2$).