Giải

a) Chứng minh $\mathrm{△}ABE=\mathrm{△}DBE$ và $\mathrm{△}ABD$ đều
- Xét $\mathrm{△}ABE$ và $\mathrm{△}DBE$, ta có:
+ Cả hai tam giác đều vuông: $\widehat{BAE}={90}^{\circ }$ (theo giả thiết) và $\widehat{BDE}={90}^{\circ }$ (do ED $\perp$ BC tại D).
+ Cạnh huyền BE là cạnh chung.
+ Cạnh góc vuông BA = BD (theo giả thiết).
=> $\mathrm{△}ABE=\mathrm{△}DBE$ (theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- Chứng minh $\mathrm{△}ABD$ đều:
+ Xét $\mathrm{△}ABD$, theo giả thiết ta có BA = BD => $\mathrm{△}ABD$ cân tại B.
Mặt khác, $\widehat{B}={60}^{\circ }$ (theo giả thiết).
- Kết luận: Tam giác cân có một góc bằng 60$°$ là tam giác đều. Vậy $\mathrm{△}ABD$ đều.
b) Chứng minh $\mathrm{△}ANE$ cân
- Từ $\mathrm{△}ABE=\mathrm{△}DBE$ (chứng minh câu a), ta có các góc tương ứng bằng nhau:
$\widehat{ABE}=\widehat{DBE}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{{60}^{\circ }}{2}={30}^{\circ }.$
- Trong $\mathrm{△}ABH$ vuông tại H: $\widehat{BAH}={90}^{\circ }-\widehat{B}={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }.$
- Vì $\widehat{BAH}=\widehat{ABE}={30}^{\circ }$, suy ra $\mathrm{△}ABN$ cân tại N => NA = NB.
- Xét các góc trong $\mathrm{△}ANE$, ta có:
$\widehat{NAE}=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }.$
$\widehat{NEA}={90}^{\circ }-\widehat{ABE}={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$(xét trong $\mathrm{△}$ ABE vuông tại A).
- Vì $\mathrm{△}ANE$ có $\widehat{NAE}=\widehat{NEA}={60}^{\circ }$ nên $\mathrm{△}ANE$ là tam giác đều (đây là trường hợp đặc biệt của tam giác cân).
Vậy: $\mathrm{△}ANE$ cân tại N.
c) Chứng minh tia AD là tia phân giác của $\widehat{HAC}$
- Vì $\mathrm{△}ABD$ đều (chứng minh câu a) nên $\widehat{BAD}={60}^{\circ }.$
- Ta có $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }.$
- Ta cũng có $\widehat{HAD}=\widehat{BAD}-\widehat{BAH}={60}^{\circ }-{30}^{\circ }={30}^{\circ }.$
- Vì $\widehat{HAD}=\widehat{DAC}={30}^{\circ }$ nên AD là tia phân giác của $\widehat{HAC}.$

d) So sánh HD và DC
- Trong $\mathrm{△}ABC$ vuông tại A, ta tính được $\widehat{C}={90}^{\circ }-\widehat{B}={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }.$
- Xét $\mathrm{△}ADC$, ta có $\widehat{DAC}={30}^{\circ }$ (chứng minh ở trên) và $\widehat{C}={30}^{\circ }.$
- Vì $\widehat{DAC}=\widehat{C}$ nên $\mathrm{△}ADC$ cân tại D => DA = DC.
- Xét $\mathrm{△}AHD$ vuông tại H. Trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông
=> AD > HD.
- Thay AD = DC, ta được DC > HD.

e) Chứng minh AH + BC > AC + AB
- Ta sử dụng kết quả từ câu d: AD = DC.
Và vì $\mathrm{△}ABD$ đều nên AB = BD = AD.
=> AB = BD = DC => BC = BD + DC = 2AB.
- Xét $\mathrm{△}ABH$ vuông tại H, ta có AH < AB (cạnh huyền AB lớn hơn cạnh góc vuông AH).
=> Cộng thêm BC vào cả hai vế: AH + BC < AB + BC. Thay BC = 2AB:
AH + BC < AB + 2AB = 3AB.
- Ta cần so sánh AC + AB với 3AB, tức là so sánh AC với 2AB.
- Xét $\mathrm{△}ABC$ vuông tại A có $\widehat{B}={60}^{\circ }$, $\widehat{C}={30}^{\circ }$.
Đây là tam giác nửa đều, ta có hệ thức AC = $\sqrt{3}\cdot AB.$
- So sánh: Ta có $\sqrt{3}<2$. Do đó $\sqrt{3}AB<2AB\Rightarrow AC<2AB.$
- Cộng AB vào hai vế: AC + AB < 3AB.
Từ (4) và (8), ta thấy vế trái AH + BC có giới hạn trên là 3AB, và vế phải AC + AB cũng có giới hạn trên là 3AB.
- Ta so sánh trực tiếp bằng giá trị:
$AH+BC=\frac{\sqrt{3}}{2}AB+2AB=AB(\frac{\sqrt{3}}{2}+2)\approx 2,866\cdot AB.$
AC + AB = $\sqrt{3}AB+AB=AB(\sqrt{3}+1)\approx 2,732\cdot AB.$
- Rõ ràng 2,866 > 2,732.
Vậy: AH + BC > AC + AB.