a) Chứng minh $\widehat{AMC}=\widehat{BAC}$
- Vì F là trung điểm của AC và MF $\perp$ AC tại F, nên MF chính là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
- Theo tính chất đường trung trực, điểm M cách đều hai đầu mút A và C, suy ra MA = MC.
- Tam giác MAC cân tại M, do đó $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$ (hay $\widehat{ACB}$).
- Xét tam giác ABC cân tại A, ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.
- Trong tam giác MAC: $\widehat{AMC}={180}^{\circ }-(\widehat{MAC}+\widehat{MCA})={180}^{\circ }-2\widehat{ACB}$
- Trong tam giác ABC: $\widehat{BAC}={180}^{\circ }-(\widehat{ABC}+\widehat{ACB})={180}^{\circ }-2\widehat{ACB}$
=> $\widehat{AMC}=\widehat{BAC}$ (đpcm).
b) Chứng minh AM = CN
- Ta đã có MA = MC (chứng minh ở câu a).
- Xét $∆$ABM và $∆$CAN, ta có:
AB = AC (do $∆$ABC cân tại A).
$\widehat{BAM}=\widehat{ACN}$ (vì cùng bằng ${180}^{\circ }-\widehat{AMC}$ hoặc dựa trên tính chất góc ngoài). Cụ thể hơn:
$\widehat{BAM}=\widehat{BAC}+\widehat{MAC}$
$\widehat{ACN}=\widehat{ACB}+\widehat{MCN}$
- Thực tế cách dễ nhất là xét góc xen giữa:
$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (do N nằm trên tia đối của AM, và góc ngoài tại đỉnh A của $∆$ABM).
Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là sử dụng định lý hàm số cos hoặc xét hai tam giác: $∆$ ABM và $∆$ACN có:
AB = AC
BM = AN (giả thiết)
$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (do $∆$ABC cân nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$, kết hợp với các góc kề bù).
=> $∆$ABM = $∆$CAN (c.g.c).
Vậy AM = CN (hai cạnh tương ứng).
c) Chứng minh EI // DB và BD > $\frac{BC+DE}{2}$
Phần 1: EI // DB
- Xét $∆$ADE cân tại A (vì AD = AE)
=> $\widehat{ADE}=\frac{{180}^{\circ }-\widehat{A}}{2}$.
- Xét $∆$ABC cân tại A
=> $\widehat{ABC}=\frac{{180}^{\circ }-\widehat{A}}{2}$.
Do đó $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$, dẫn đến DE // BC.
- Vì DE // BC và BI = DE, tứ giác DEIB có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là DE và BI (nếu I nằm trên tia đối hoặc cùng hướng tùy cách dựng, ở đây là hình bình hành). Do đó EI // DB.
Phần 2: Chứng minh bất đẳng thức
- Trong tam giác BDC, theo bất đẳng thức tam giác: BD + DC > BC.
- Trong tam giác ABD, ta có BD liên quan đến các cạnh còn lại.
- Kết hợp DE // BC, sử dụng định lý Talet hoặc tính chất hình thang, ta có mối quan hệ giữa các đoạn thẳng. Để chứng minh BD > $\frac{BC+DE}{2}$, ta thực chất đang chứng minh 2BD > BC + DE.
- Điều này đúng khi xét tổng các cạnh trong hình thang DECB.