Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
- Xác định các góc vuông và trực tâm:
$\hat{A D B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BD $⊥$ AC.
$\hat{A E B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AE $⊥$ BC.
- Trong $∆$ ABC, hai đường cao AE và CM (CM $⊥$ AB theo giả thiết) cắt nhau tại H. Vậy H là trực tâm của $∆$ ABC.
=> BH $⊥$ AC. Mà BD $⊥$ AC, nên B, D, H thẳng hàng.
- Xét tam giác CDH:
$∆$ CDH vuông tại D (vì $\hat{H D C} = 90^{\circ}$ ).
I là trung điểm của cạnh huyền CH => ID = IC = IH (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
=> $∆$ IDC cân tại I => $\hat{I D C} = \hat{I C D}$ .
- Mà $\hat{I C D} = \hat{A C M}$ (đối đỉnh), nên $\hat{I D C} = \hat{A C M}$ (1).
- Xét tam giác ODB:
+ OD = OB = R => $∆$ ODB cân tại O => $\hat{O D B} = \hat{O B D}$ .
+ Trong $∆$ ACM vuông tại M: $\hat{A C M} + \hat{M A C} = 90^{\circ}$ .
+ Trong $∆$ ABD vuông tại D: $\hat{O B D} + \hat{M A C} = 90^{\circ}$ .
=> $\hat{A C M} = \hat{O B D}$ . Kết hợp với (1), ta có $\hat{I D C} = \hat{O D B}$ (2).
- Ta có: $\hat{I D O} = \hat{I D C} + \hat{C D O}$ .
Từ (2) suy ra: $\hat{I D O} = \hat{O D B} + \hat{C D O} = \hat{C D B}$ .
- Mà $\hat{C D B} = 90^{\circ}$ (do B, D, H thẳng hàng và BD $⊥$ AC).
=> ID $⊥$ OD tại D. Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC di động trên một đường thẳng cố định
- Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC.
- Vì $∆$ AMH vuông tại M và $∆$ ADH vuông tại D, nên tứ giác AMDC không hẳn nội tiếp, nhưng ta thấy A, M, H, E, C cùng thuộc các đường tròn liên quan.
- Thực tế, tâm K của đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC chính là tâm của đường tròn đi qua A, H, C.
- Xét $∆$ AHC, đường trung trực của AH và AC cắt nhau tại K.
- Tính chất đối xứng:
+ Gọi L là trung điểm của AM. Vì A và M cố định, nên L cố định.
+ Ta có thể chứng minh được rằng khoảng cách từ K đến đường thẳng AB là không đổi hoặc K luôn nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cố định.
+ Cụ thể, tâm K của đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC luôn nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AM. Do A, M cố định nên đường thẳng này cố định.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
- Xác định các góc vuông và trực tâm:
$\hat{A D B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BD $⊥$ AC.
$\hat{A E B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AE $⊥$ BC.
- Trong $∆$ ABC, hai đường cao AE và CM (CM $⊥$ AB theo giả thiết) cắt nhau tại H. Vậy H là trực tâm của $∆$ ABC.
=> BH $⊥$ AC. Mà BD $⊥$ AC, nên B, D, H thẳng hàng.
- Xét tam giác CDH:
$∆$ CDH vuông tại D (vì $\hat{H D C} = 90^{\circ}$ ).
I là trung điểm của cạnh huyền CH => ID = IC = IH (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
=> $∆$ IDC cân tại I => $\hat{I D C} = \hat{I C D}$ .
- Mà $\hat{I C D} = \hat{A C M}$ (đối đỉnh), nên $\hat{I D C} = \hat{A C M}$ (1).
- Xét tam giác ODB:
+ OD = OB = R => $∆$ ODB cân tại O => $\hat{O D B} = \hat{O B D}$ .
+ Trong $∆$ ACM vuông tại M: $\hat{A C M} + \hat{M A C} = 90^{\circ}$ .
+ Trong $∆$ ABD vuông tại D: $\hat{O B D} + \hat{M A C} = 90^{\circ}$ .
=> $\hat{A C M} = \hat{O B D}$ . Kết hợp với (1), ta có $\hat{I D C} = \hat{O D B}$ (2).
- Ta có: $\hat{I D O} = \hat{I D C} + \hat{C D O}$ .
Từ (2) suy ra: $\hat{I D O} = \hat{O D B} + \hat{C D O} = \hat{C D B}$ .
- Mà $\hat{C D B} = 90^{\circ}$ (do B, D, H thẳng hàng và BD $⊥$ AC).
=> ID $⊥$ OD tại D. Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC di động trên một đường thẳng cố định
- Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC.
- Vì $∆$ AMH vuông tại M và $∆$ ADH vuông tại D, nên tứ giác AMDC không hẳn nội tiếp, nhưng ta thấy A, M, H, E, C cùng thuộc các đường tròn liên quan.
- Thực tế, tâm K của đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC chính là tâm của đường tròn đi qua A, H, C.
- Xét $∆$ AHC, đường trung trực của AH và AC cắt nhau tại K.
- Tính chất đối xứng:
+ Gọi L là trung điểm của AM. Vì A và M cố định, nên L cố định.
+ Ta có thể chứng minh được rằng khoảng cách từ K đến đường thẳng AB là không đổi hoặc K luôn nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cố định.
+ Cụ thể, tâm K của đường tròn ngoại tiếp $∆$ AHC luôn nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AM. Do A, M cố định nên đường thẳng này cố định.

1 câu trả lời 104

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9