- Xét $∆$ABE và $∆$ACF, ta có:
Góc $\widehat{A}$ chung.
$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}={90}^{\circ }$ (do BE, CF là đường cao).
=>  $∆$ABE $\approx$ $∆$ACF (g.g).
=> $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$(Tỉ số cặp cạnh đồng dạng của hai tam giác)
=> $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$
- Xét $∆$AEF và $∆$ABC, ta có:
Góc $\widehat{A}$ chung.
Có tỉ số cạnh: $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ (chứng minh trên).
=> $∆$AEF $\approx$ $∆$ABC (c.g.c). (đpcm)

$\color{black}{\text{1. Chứng minh bằng tứ giác nội tiếp}}$
$\color{black}{\text{Xét tứ giác } BFEC \text{ có:}}$

$\color{black}{\angle BFC = 90^\circ \text{ (do } CF \text{ là đường cao).}}$
$\color{black}{\angle BEC = 90^\circ \text{ (do } BE \text{ là đường cao).}}$
$\color{black}{\text{Hai đỉnh } F \text{ và } E \text{ cùng nhìn cạnh } BC \text{ dưới một góc } 90^\circ \text{, nên tứ giác } BFEC \text{ nội tiếp đường tròn đường kính } BC\text{.}}$

$\color{black}{\text{Vì tứ giác } BFEC \text{ nội tiếp, ta có tính chất:}}$

$\color{black}{\angle AFE = \angle ACB \text{ (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)}}$
$\color{black}{\text{Xét } \triangle AEF \text{ và } \triangle ABC \text{ có:}}$

$\color{black}{\angle A \text{ chung.}}$
$\color{black}{\angle AFE = \angle ACB \text{ (chứng minh trên).}}$
$\color{black}{\Rightarrow \triangle AEF \sim \triangle ABC \text{ (g.g).}}$

$\color{black}{\text{2. Chứng minh bằng tỉ số lượng giác}}$
$\color{black}{\text{Xét } \triangle ABE \text{ vuông tại } E \text{, ta có:}}$

$\color{black}{\cos A = \frac{AE}{AB}}$
$\color{black}{\text{Xét } \triangle ACF \text{ vuông tại } F \text{, ta có:}}$

$\color{black}{\cos A = \frac{AF}{AC}}$
$\color{black}{\text{Từ hai biểu thức trên, ta suy ra:}}$

$\color{black}{\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \cos A}$
$\color{black}{\Rightarrow \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}}$
$\color{black}{\text{Xét } \triangle AEF \text{ và } \triangle ABC \text{ có:}}$

$\color{black}{\angle A \text{ chung.}}$
$\color{black}{\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \text{ (tỉ số các cạnh tương ứng).}}$
$\color{black}{\Rightarrow \triangle AEF \sim \triangle ABC \text{ (c.g.c).}}$

$\color{black}{\text{Kết luận:}}$
$\color{black}{\text{Tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác này là } k = \frac{AE}{AB} = \cos A \text{.}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$