$\color{black}{\text{a) Chứng minh tứ giác MHAK nội tiếp một đường tròn}}$
$\color{black}{\text{Xét tứ giác MHAK, ta có:}}$

$\color{black}{\text{Theo giả thiết, } MN \perp AB \text{ tại } H \Rightarrow \angle MHA = 90^\circ \text{.}}$
$\color{black}{\text{Theo giả thiết, } MK \perp AN \text{ tại } K \Rightarrow \angle MKA = 90^\circ \text{.}}$
$\color{black}{\text{Xét tứ giác MHAK có:}}$

$\color{black}{\angle MHA = \angle MKA = 90^\circ}$
$\color{black}{\text{Hai đỉnh H và K cùng nhìn đoạn thẳng MA dưới một góc bằng } 90^\circ \text{.}}$

$\color{black}{\textbf{Kết luận:}\text{ Tứ giác MHAK nội tiếp đường tròn đường kính MA.}}$

$\color{black}{\text{b) Chứng minh } HM \times NB = KH \times BM}$
$\color{black}{\text{Để chứng minh đẳng thức } HM \times NB = KH \times BM \text{, ta sẽ chứng minh } \frac{HM}{BM} = \frac{KH}{NB} \text{ thông qua việc chứng minh hai tam giác đồng dạng.}}$

$\color{black}{\textbf{Bước 1: Chứng minh } \angle MHK = \angle MAN \text{.}}$

$\color{black}{\text{Vì tứ giác MHAK nội tiếp (chứng minh câu a), nên } \angle MHK = \angle MAK \text{ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).}}$

$\color{black}{\text{Mà } \angle MAK \text{ chính là góc } \angle MAN \text{. Vậy } \angle MHK = \angle MAN \text{ (1).}}$

$\color{black}{\textbf{Bước 2: Chứng minh } \angle MAN = \angle MBN \text{.}}$

$\color{black}{\text{Trong đường tròn (O), } \angle MAN \text{ và } \angle MBN \text{ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN.}}$

$\color{black}{\text{Do đó, } \angle MAN = \angle MBN \text{ (2).}}$

$\color{black}{\textbf{Bước 3: Chứng minh } \triangle MHK \sim \triangle MBN \text{.}}$

$\color{black}{\text{Từ (1) và (2), suy ra: } \angle MHK = \angle MBN \text{.}}$

$\color{black}{\text{Xét } \triangle MHK \text{ và } \triangle MBN \text{ có:}}$

$\color{black}{\angle M \text{ chung.}}$
$\color{black}{\angle MHK = \angle MBN \text{ (chứng minh trên).}}$

$\color{black}{\Rightarrow \triangle MHK \sim \triangle MBN \text{ (g.g).}}$
$\color{black}{\textbf{Bước 4: Thiết lập tỉ số đồng dạng.}}$

$\color{black}{\text{Từ } \triangle MHK \sim \triangle MBN \text{, ta có tỉ số tương ứng:}}$

$\color{black}{\frac{HM}{BM} = \frac{KH}{NB}}$
$\color{black}{\text{Nhân chéo tỉ số trên, ta được:}}$

$\color{black}{HM \times NB = KH \times BM \text{ (Điều phải chứng minh).}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$