$\color{blue}{\text{a) Chứng minh tứ giác BFMD nội tiếp}}$
$\color{blue}{\text{Theo giả thiết, ta có:}}$

$\color{blue}{MF \perp AB \text{ tại } F \implies \angle MFB = 90^\circ}$
$\color{blue}{MD \perp BC \text{ tại } D \implies \angle MDB = 90^\circ}$
$\color{blue}{\text{Xét tứ giác BFMD, ta thấy:}}$

$\color{blue}{\angle MFB = \angle MDB = 90^\circ}$
$\color{blue}{\text{Hai đỉnh } F \text{ và } D \text{ cùng nhìn cạnh } MB \text{ dưới một góc } 90^\circ\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Vậy tứ giác BFMD nội tiếp đường tròn đường kính } MB\text{.}}$

$\color{blue}{\text{b) Chứng minh } MF.MC = MB.ME}$
$\color{blue}{\text{Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ chứng minh hai tam giác đồng dạng: } \triangle MFB \sim \triangle MEC\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Xét } \triangle MFB \text{ và } \triangle MEC \text{ có:}}$

$\color{blue}{\angle MFB = \angle MEC = 90^\circ \text{ (do } MF \perp AB, ME \perp AC\text{).}}$
$\color{blue}{\angle MBF = \angle MCE \text{ (vì cùng bù với góc } \angle ABM \text{ trong tứ giác nội tiếp } ABMC \text{ của đường tròn } (O)\text{).}}$
$\color{blue}{\text{Do đó: } \triangle MFB \sim \triangle MEC \text{ (g.g).}}$

$\color{blue}{\text{Từ đó ta có tỉ số đồng dạng:}}$

$\color{blue}{\frac{MF}{ME} = \frac{MB}{MC} \implies MF \cdot MC = MB \cdot ME \text{ (đpcm).}}$

$\color{blue}{\text{c) Chứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng}}$
$\color{blue}{\text{Ta sẽ chứng minh } \angle FDB + \angle BDC + \angle CDE = 180^\circ \text{ hoặc sử dụng các góc cùng vị trí.}}$

$\color{blue}{\text{1. Do tứ giác BFMD nội tiếp (chứng minh ở câu a), ta có:}}$

$\color{blue}{\angle FDB = \angle FMB \text{ (cùng chắn cung } FB\text{).}}$
$\color{blue}{\text{2. Tương tự, xét tứ giác CDME có: } \angle MDC = \angle MEC = 90^\circ \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Tổng hai góc đối diện bằng } 180^\circ \text{ nên CDME là tứ giác nội tiếp.}}$

$\color{blue}{\implies \angle CDE = \angle CME \text{ (cùng chắn cung } CE\text{).}}$
$\color{blue}{\text{3. Mà trong } \triangle MFB \text{ và } \triangle MEC \text{ đồng dạng (câu b), ta có:}}$

$\color{blue}{\angle FMB = \angle EMC}$
$\color{blue}{\text{4. Ta có: } \angle FDB + \angle BDC + \angle CDE = \angle FMB + \angle BDC + \angle CME = \angle FMB + 180^\circ - (\angle FMB) = 180^\circ\text{.}}$

$\color{blue}{\text{(Vì } \angle BDC = 180^\circ \text{ và các biến đổi góc tương ứng).}}$

$\color{blue}{\text{Vậy ba điểm E, D, F thẳng hàng (đường thẳng Simson).}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$