Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

- Gọi $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ là các góc của $∆$ ABC.
- Xét tam giác vuông ABH ( $\hat{H} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A B H} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A B H} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Góc $\hat{A B D}$ là góc kề bù với $\hat{A B H}$ , nhưng vì D nằm trên tia đối của BH nên:
$\hat{A B D} = 180^{\circ} - \hat{A B H} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Tương tự, xét tam giác vuông ACK ( $\hat{K} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A C K} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A C K} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Vì E nằm trên tia đối của CK nên:
$\hat{A C E} = 180^{\circ} - \hat{A C K} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
=> $\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Xét $∆$ ABD và $∆$ ECA có:
BD = AC (theo giả thiết).
$\hat{A B D} = \hat{A C E}$ (chứng minh trên).
AB = CE (theo giả thiết).
=> $△ A B D = △ E C A$ (cạnh - góc - cạnh).
=> Ta có các cặp cạnh và góc tương ứng:
AD = AE (nên $∆$ ADE cân tại A).
$\hat{B A D} = \hat{C E A}$ (góc tương ứng).
Trong $∆$ ACE, tổng các góc là $180^{\circ}$ : $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A C E} = 180^{\circ}$
- Thay $\hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ vào: $\hat{C E A} + \hat{C A E} + 90^{\circ} + \hat{A} = 180^{\circ}$
=> $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
- Mà $\hat{B A D} = \hat{C E A}$ , nên ta thay thế: $\hat{B A D} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
=> $\hat{B A D} + \hat{B A C} + \hat{C A E}$ chính là góc $\hat{D A E}$ .
=> $\hat{D A E} = 90^{\circ}$ .
Vậy: Tam giác ADE vuông cân tại A. (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

- Gọi $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ là các góc của $∆$ ABC.
- Xét tam giác vuông ABH ( $\hat{H} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A B H} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A B H} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Góc $\hat{A B D}$ là góc kề bù với $\hat{A B H}$ , nhưng vì D nằm trên tia đối của BH nên:
$\hat{A B D} = 180^{\circ} - \hat{A B H} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Tương tự, xét tam giác vuông ACK ( $\hat{K} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A C K} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A C K} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Vì E nằm trên tia đối của CK nên:
$\hat{A C E} = 180^{\circ} - \hat{A C K} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
=> $\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Xét $∆$ ABD và $∆$ ECA có:
BD = AC (theo giả thiết).
$\hat{A B D} = \hat{A C E}$ (chứng minh trên).
AB = CE (theo giả thiết).
=> $△ A B D = △ E C A$ (cạnh - góc - cạnh).
=> Ta có các cặp cạnh và góc tương ứng:
AD = AE (nên $∆$ ADE cân tại A).
$\hat{B A D} = \hat{C E A}$ (góc tương ứng).
Trong $∆$ ACE, tổng các góc là $180^{\circ}$ : $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A C E} = 180^{\circ}$
- Thay $\hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ vào: $\hat{C E A} + \hat{C A E} + 90^{\circ} + \hat{A} = 180^{\circ}$
=> $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
- Mà $\hat{B A D} = \hat{C E A}$ , nên ta thay thế: $\hat{B A D} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
=> $\hat{B A D} + \hat{B A C} + \hat{C A E}$ chính là góc $\hat{D A E}$ .
=> $\hat{D A E} = 90^{\circ}$ .
Vậy: Tam giác ADE vuông cân tại A. (đpcm)

Answer 3

Để chứng minh tam giác ADE vuông, ta cần chứng minh một góc trong tam giác đó bằng 90 độ, thường bằng cách sử dụng tính chất của các đường cao, tứ giác nội tiếp, và phép quay/tịnh tiến hình học để thiết lập các tam giác bằng nhau hoặc chứng minh các quan hệ góc đặc biệt, cụ thể là chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐷𝐴𝐸=90∘

(hay

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐵𝐴𝐶=90∘

), điều không thể vì tam giác ABC nhọn, nên ta sẽ chứng minh bằng cách khác như chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐷𝐸=90∘

hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐸𝐷=90∘

bằng cách xét các tam giác bằng nhau (như

△ � � � ≅ △ � � �

△𝐵𝐷𝐶≅△𝐴𝐶𝐸

) và sử dụng phép quay để đưa về góc vuông.

Các bước chứng minh:

Xác định các đường cao:

$� � ⟂ � �$
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
tại

$�$
𝐻
,

$� � ⟂ � �$
𝐶𝐾⟂𝐴𝐵
tại

$�$
𝐾
.

$�$
𝐻
và

$�$
𝐾
là chân đường cao.
Xây dựng các điểm D và E:
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  𝐵𝐻
  , lấy
  
  $�$
  𝐷
  sao cho
  
  $� � = � �$
  𝐵𝐷=𝐴𝐶
  .
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  𝐶𝐾
  , lấy
  
  $�$
  𝐸
  sao cho
  
  $� � = � �$
  𝐶𝐸=𝐴𝐵
  .
Xét các tam giác vuông:
- Xét
  
  $△ � � �$
  △𝐵𝐾𝐶
  và
  
  $△ � � �$
  △𝐶𝐻𝐵
  là các tam giác vuông tại
  
  $�$
  𝐾
  và
  
  $�$
  𝐻
  .
Sử dụng phép quay để chứng minh:
- Quay
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐵𝐷
  quanh A một góc 90 độ: Phép quay này có thể biến
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐵𝐷
  thành
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐶𝐸
  (nếu chọn đúng chiều) hoặc một tam giác khác để sử dụng tính chất đường cao và cạnh bằng nhau.
- Cách khác (phổ biến hơn): Xét hai tam giác bằng nhau:
  - Xét
    
    $△ � � �$
    △𝐷𝐵𝐶
    và
    
    $△ � � �$
    △𝐸𝐴𝐶
    :
    - $� � = � �$
      𝐵𝐷=𝐴𝐶
      (theo giả thiết)
    - $� � = � �$
      𝐶𝐸=𝐴𝐵
      (theo giả thiết)
    - $∠ � � � = ∠ � � �$
      ∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐸𝐴𝐶
      (Góc ngoài và góc trong cùng phía của tứ giác nội tiếp
      
      $� � � �$
      𝐵𝐶𝐾𝐻
      , hoặc dùng góc phụ với
      
      $∠ �$
      ∠𝐴
      ).
    - Từ đó suy ra
      
      $△ � � � ≅ △ � � �$
      △𝐷𝐵𝐶≅△𝐸𝐴𝐶
      (c.g.c).
  - Do đó,
    
    $� � = � �$
    𝐶𝐷=𝐴𝐸
    và
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐸𝐴𝐶
    (hoặc
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐸𝐴𝐵
    , tùy cách xác định góc).
Chứng minh

$△ � � �$
△𝐴𝐷𝐸
vuông:
- Từ
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △𝐷𝐵𝐶≅△𝐸𝐴𝐶
  , ta có
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐸𝐴
  và
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸
  .
- Xét
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐷𝐶
  và
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐸𝐵
  .
- Sử dụng phép quay
  
  $90^{\circ}$
  90∘
  quanh điểm A (hoặc dùng tính chất tứ giác nội tiếp
  
  $� � � �$
  𝐵𝐶𝐾𝐻
  , suy ra
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠𝐾𝐻𝐶=∠𝐾𝐵𝐶
  ... rồi dùng góc kề bù) để chứng minh rằng
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐷𝐴𝐸=90∘
  (thực ra góc này chính là
  
  $∠ � � �$
  ∠𝐵𝐴𝐶
  nên không thể vuông tại A, trừ khi
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐵𝐶
  vuông).
- Phải chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐷𝐸=90∘
  (hoặc
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐸𝐷=90∘
  ).
- Sử dụng kết quả
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △𝐷𝐵𝐶≅△𝐸𝐴𝐶
  để chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐷𝐸=90∘
  bằng cách ghép các góc lại (ví dụ
  
  $∠ � � � + ∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐶𝐷𝐸=90∘
  hoặc qua phép quay).

Kết luận: Tam giác

� � �

𝐴𝐷𝐸

là tam giác vuông tại

�

𝐷

(hoặc

�

𝐸

) nếu chứng minh được

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐷𝐸=90∘

(hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐸𝐷=90∘

) thông qua việc chứng minh hai tam giác bằng nhau và sử dụng góc kề bù hoặc phép quay.

Lưu ý: Chứng minh này cần xem xét kỹ lưỡng các góc phụ và góc kề bù, thường sử dụng phép quay 90 độ quanh một điểm trung tâm để tạo ra góc vuông.

...Xem thêm

Answer 4

Để chứng minh tam giác ADE vuông, ta cần chứng minh một góc trong tam giác đó bằng 90 độ, thường bằng cách sử dụng tính chất của các đường cao, tứ giác nội tiếp, và phép quay/tịnh tiến hình học để thiết lập các tam giác bằng nhau hoặc chứng minh các quan hệ góc đặc biệt, cụ thể là chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐷𝐴𝐸=90∘

(hay

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐵𝐴𝐶=90∘

), điều không thể vì tam giác ABC nhọn, nên ta sẽ chứng minh bằng cách khác như chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐷𝐸=90∘

hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐸𝐷=90∘

bằng cách xét các tam giác bằng nhau (như

△ � � � ≅ △ � � �

△𝐵𝐷𝐶≅△𝐴𝐶𝐸

) và sử dụng phép quay để đưa về góc vuông.

Các bước chứng minh:

Xác định các đường cao:

$� � ⟂ � �$
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
tại

$�$
𝐻
,

$� � ⟂ � �$
𝐶𝐾⟂𝐴𝐵
tại

$�$
𝐾
.

$�$
𝐻
và

$�$
𝐾
là chân đường cao.
Xây dựng các điểm D và E:
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  𝐵𝐻
  , lấy
  
  $�$
  𝐷
  sao cho
  
  $� � = � �$
  𝐵𝐷=𝐴𝐶
  .
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  𝐶𝐾
  , lấy
  
  $�$
  𝐸
  sao cho
  
  $� � = � �$
  𝐶𝐸=𝐴𝐵
  .
Xét các tam giác vuông:
- Xét
  
  $△ � � �$
  △𝐵𝐾𝐶
  và
  
  $△ � � �$
  △𝐶𝐻𝐵
  là các tam giác vuông tại
  
  $�$
  𝐾
  và
  
  $�$
  𝐻
  .
Sử dụng phép quay để chứng minh:
- Quay
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐵𝐷
  quanh A một góc 90 độ: Phép quay này có thể biến
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐵𝐷
  thành
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐶𝐸
  (nếu chọn đúng chiều) hoặc một tam giác khác để sử dụng tính chất đường cao và cạnh bằng nhau.
- Cách khác (phổ biến hơn): Xét hai tam giác bằng nhau:
  - Xét
    
    $△ � � �$
    △𝐷𝐵𝐶
    và
    
    $△ � � �$
    △𝐸𝐴𝐶
    :
    - $� � = � �$
      𝐵𝐷=𝐴𝐶
      (theo giả thiết)
    - $� � = � �$
      𝐶𝐸=𝐴𝐵
      (theo giả thiết)
    - $∠ � � � = ∠ � � �$
      ∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐸𝐴𝐶
      (Góc ngoài và góc trong cùng phía của tứ giác nội tiếp
      
      $� � � �$
      𝐵𝐶𝐾𝐻
      , hoặc dùng góc phụ với
      
      $∠ �$
      ∠𝐴
      ).
    - Từ đó suy ra
      
      $△ � � � ≅ △ � � �$
      △𝐷𝐵𝐶≅△𝐸𝐴𝐶
      (c.g.c).
  - Do đó,
    
    $� � = � �$
    𝐶𝐷=𝐴𝐸
    và
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐸𝐴𝐶
    (hoặc
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐸𝐴𝐵
    , tùy cách xác định góc).
Chứng minh

$△ � � �$
△𝐴𝐷𝐸
vuông:
- Từ
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △𝐷𝐵𝐶≅△𝐸𝐴𝐶
  , ta có
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐸𝐴
  và
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸
  .
- Xét
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐷𝐶
  và
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐸𝐵
  .
- Sử dụng phép quay
  
  $90^{\circ}$
  90∘
  quanh điểm A (hoặc dùng tính chất tứ giác nội tiếp
  
  $� � � �$
  𝐵𝐶𝐾𝐻
  , suy ra
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠𝐾𝐻𝐶=∠𝐾𝐵𝐶
  ... rồi dùng góc kề bù) để chứng minh rằng
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐷𝐴𝐸=90∘
  (thực ra góc này chính là
  
  $∠ � � �$
  ∠𝐵𝐴𝐶
  nên không thể vuông tại A, trừ khi
  
  $△ � � �$
  △𝐴𝐵𝐶
  vuông).
- Phải chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐷𝐸=90∘
  (hoặc
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐸𝐷=90∘
  ).
- Sử dụng kết quả
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △𝐷𝐵𝐶≅△𝐸𝐴𝐶
  để chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐷𝐸=90∘
  bằng cách ghép các góc lại (ví dụ
  
  $∠ � � � + ∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐶𝐷𝐸=90∘
  hoặc qua phép quay).

Kết luận: Tam giác

� � �

𝐴𝐷𝐸

là tam giác vuông tại

�

𝐷

(hoặc

�

𝐸

) nếu chứng minh được

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐷𝐸=90∘

(hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠𝐴𝐸𝐷=90∘

) thông qua việc chứng minh hai tam giác bằng nhau và sử dụng góc kề bù hoặc phép quay.

Lưu ý: Chứng minh này cần xem xét kỹ lưỡng các góc phụ và góc kề bù, thường sử dụng phép quay 90 độ quanh một điểm trung tâm để tạo ra góc vuông.

Answer 5

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.
Kẻ BH ⟂ AC tại H, CK ⟂ AB tại K.
Trên tia đối của tia BH lấy điểm D sao cho BD = AC.
Trên tia đối của tia CK lấy điểm E sao cho CE = AB.

Ta có:
BH ⟂ AC ⇒ ∠BHC = 90°.
CK ⟂ AB ⇒ ∠BKC = 90°.

Xét tam giác ABD và tam giác ACE:
BD = AC (theo cách dựng).
CE = AB (theo cách dựng).

Suy ra BD ⟂ CE.

Do đó ∠ADE = 90°.

Vậy tam giác ADE là tam giác vuông.

3 câu trả lời 66

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7