Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

- Gọi $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ là các góc của $∆$ ABC.
- Xét tam giác vuông ABH ( $\hat{H} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A B H} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A B H} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Góc $\hat{A B D}$ là góc kề bù với $\hat{A B H}$ , nhưng vì D nằm trên tia đối của BH nên:
$\hat{A B D} = 180^{\circ} - \hat{A B H} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Tương tự, xét tam giác vuông ACK ( $\hat{K} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A C K} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A C K} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Vì E nằm trên tia đối của CK nên:
$\hat{A C E} = 180^{\circ} - \hat{A C K} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
=> $\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Xét $∆$ ABD và $∆$ ECA có:
BD = AC (theo giả thiết).
$\hat{A B D} = \hat{A C E}$ (chứng minh trên).
AB = CE (theo giả thiết).
=> $△ A B D = △ E C A$ (cạnh - góc - cạnh).
=> Ta có các cặp cạnh và góc tương ứng:
AD = AE (nên $∆$ ADE cân tại A).
$\hat{B A D} = \hat{C E A}$ (góc tương ứng).
Trong $∆$ ACE, tổng các góc là $180^{\circ}$ : $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A C E} = 180^{\circ}$
- Thay $\hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ vào: $\hat{C E A} + \hat{C A E} + 90^{\circ} + \hat{A} = 180^{\circ}$
=> $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
- Mà $\hat{B A D} = \hat{C E A}$ , nên ta thay thế: $\hat{B A D} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
=> $\hat{B A D} + \hat{B A C} + \hat{C A E}$ chính là góc $\hat{D A E}$ .
=> $\hat{D A E} = 90^{\circ}$ .
Vậy: Tam giác ADE vuông cân tại A. (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

- Gọi $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ là các góc của $∆$ ABC.
- Xét tam giác vuông ABH ( $\hat{H} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A B H} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A B H} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Góc $\hat{A B D}$ là góc kề bù với $\hat{A B H}$ , nhưng vì D nằm trên tia đối của BH nên:
$\hat{A B D} = 180^{\circ} - \hat{A B H} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Tương tự, xét tam giác vuông ACK ( $\hat{K} = 90^{\circ}$ ): $\hat{A C K} + \hat{B A C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A C K} = 90^{\circ} - \hat{A}$ .
- Vì E nằm trên tia đối của CK nên:
$\hat{A C E} = 180^{\circ} - \hat{A C K} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \hat{A}) = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
=> $\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ .
- Xét $∆$ ABD và $∆$ ECA có:
BD = AC (theo giả thiết).
$\hat{A B D} = \hat{A C E}$ (chứng minh trên).
AB = CE (theo giả thiết).
=> $△ A B D = △ E C A$ (cạnh - góc - cạnh).
=> Ta có các cặp cạnh và góc tương ứng:
AD = AE (nên $∆$ ADE cân tại A).
$\hat{B A D} = \hat{C E A}$ (góc tương ứng).
Trong $∆$ ACE, tổng các góc là $180^{\circ}$ : $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A C E} = 180^{\circ}$
- Thay $\hat{A C E} = 90^{\circ} + \hat{A}$ vào: $\hat{C E A} + \hat{C A E} + 90^{\circ} + \hat{A} = 180^{\circ}$
=> $\hat{C E A} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
- Mà $\hat{B A D} = \hat{C E A}$ , nên ta thay thế: $\hat{B A D} + \hat{C A E} + \hat{A} = 90^{\circ}$
=> $\hat{B A D} + \hat{B A C} + \hat{C A E}$ chính là góc $\hat{D A E}$ .
=> $\hat{D A E} = 90^{\circ}$ .
Vậy: Tam giác ADE vuông cân tại A. (đpcm)

Answer 3

Để chứng minh tam giác ADE vuông, ta cần chứng minh một góc trong tam giác đó bằng 90 độ, thường bằng cách sử dụng tính chất của các đường cao, tứ giác nội tiếp, và phép quay/tịnh tiến hình học để thiết lập các tam giác bằng nhau hoặc chứng minh các quan hệ góc đặc biệt, cụ thể là chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

(hay

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

), điều không thể vì tam giác ABC nhọn, nên ta sẽ chứng minh bằng cách khác như chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

bằng cách xét các tam giác bằng nhau (như

△ � � � ≅ △ � � �

△???≅△???

) và sử dụng phép quay để đưa về góc vuông.

Các bước chứng minh:

Xác định các đường cao:

$� � ⟂ � �$
??⟂??
tại

$�$
?
,

$� � ⟂ � �$
??⟂??
tại

$�$
?
.

$�$
?
và

$�$
?
là chân đường cao.
Xây dựng các điểm D và E:
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  ??
  , lấy
  
  $�$
  ?
  sao cho
  
  $� � = � �$
  ??=??
  .
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  ??
  , lấy
  
  $�$
  ?
  sao cho
  
  $� � = � �$
  ??=??
  .
Xét các tam giác vuông:
- Xét
  
  $△ � � �$
  △???
  và
  
  $△ � � �$
  △???
  là các tam giác vuông tại
  
  $�$
  ?
  và
  
  $�$
  ?
  .
Sử dụng phép quay để chứng minh:
- Quay
  
  $△ � � �$
  △???
  quanh A một góc 90 độ: Phép quay này có thể biến
  
  $△ � � �$
  △???
  thành
  
  $△ � � �$
  △???
  (nếu chọn đúng chiều) hoặc một tam giác khác để sử dụng tính chất đường cao và cạnh bằng nhau.
- Cách khác (phổ biến hơn): Xét hai tam giác bằng nhau:
  - Xét
    
    $△ � � �$
    △???
    và
    
    $△ � � �$
    △???
    :
    - $� � = � �$
      ??=??
      (theo giả thiết)
    - $� � = � �$
      ??=??
      (theo giả thiết)
    - $∠ � � � = ∠ � � �$
      ∠???=∠???
      (Góc ngoài và góc trong cùng phía của tứ giác nội tiếp
      
      $� � � �$
      ????
      , hoặc dùng góc phụ với
      
      $∠ �$
      ∠?
      ).
    - Từ đó suy ra
      
      $△ � � � ≅ △ � � �$
      △???≅△???
      (c.g.c).
  - Do đó,
    
    $� � = � �$
    ??=??
    và
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠???=∠???
    (hoặc
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠???=∠???
    , tùy cách xác định góc).
Chứng minh

$△ � � �$
△???
vuông:
- Từ
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △???≅△???
  , ta có
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠???=∠???
  và
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠???=∠???
  .
- Xét
  
  $△ � � �$
  △???
  và
  
  $△ � � �$
  △???
  .
- Sử dụng phép quay
  
  $90^{\circ}$
  90∘
  quanh điểm A (hoặc dùng tính chất tứ giác nội tiếp
  
  $� � � �$
  ????
  , suy ra
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠???=∠???
  ... rồi dùng góc kề bù) để chứng minh rằng
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  (thực ra góc này chính là
  
  $∠ � � �$
  ∠???
  nên không thể vuông tại A, trừ khi
  
  $△ � � �$
  △???
  vuông).
- Phải chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  (hoặc
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  ).
- Sử dụng kết quả
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △???≅△???
  để chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  bằng cách ghép các góc lại (ví dụ
  
  $∠ � � � + ∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???+∠???=90∘
  hoặc qua phép quay).

Kết luận: Tam giác

� � �

???

là tam giác vuông tại

�

?

(hoặc

�

?

) nếu chứng minh được

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

(hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

) thông qua việc chứng minh hai tam giác bằng nhau và sử dụng góc kề bù hoặc phép quay.

Lưu ý: Chứng minh này cần xem xét kỹ lưỡng các góc phụ và góc kề bù, thường sử dụng phép quay 90 độ quanh một điểm trung tâm để tạo ra góc vuông.

...Xem thêm

Answer 4

Để chứng minh tam giác ADE vuông, ta cần chứng minh một góc trong tam giác đó bằng 90 độ, thường bằng cách sử dụng tính chất của các đường cao, tứ giác nội tiếp, và phép quay/tịnh tiến hình học để thiết lập các tam giác bằng nhau hoặc chứng minh các quan hệ góc đặc biệt, cụ thể là chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

(hay

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

), điều không thể vì tam giác ABC nhọn, nên ta sẽ chứng minh bằng cách khác như chứng minh

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

bằng cách xét các tam giác bằng nhau (như

△ � � � ≅ △ � � �

△???≅△???

) và sử dụng phép quay để đưa về góc vuông.

Các bước chứng minh:

Xác định các đường cao:

$� � ⟂ � �$
??⟂??
tại

$�$
?
,

$� � ⟂ � �$
??⟂??
tại

$�$
?
.

$�$
?
và

$�$
?
là chân đường cao.
Xây dựng các điểm D và E:
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  ??
  , lấy
  
  $�$
  ?
  sao cho
  
  $� � = � �$
  ??=??
  .
- Trên tia đối tia
  
  $� �$
  ??
  , lấy
  
  $�$
  ?
  sao cho
  
  $� � = � �$
  ??=??
  .
Xét các tam giác vuông:
- Xét
  
  $△ � � �$
  △???
  và
  
  $△ � � �$
  △???
  là các tam giác vuông tại
  
  $�$
  ?
  và
  
  $�$
  ?
  .
Sử dụng phép quay để chứng minh:
- Quay
  
  $△ � � �$
  △???
  quanh A một góc 90 độ: Phép quay này có thể biến
  
  $△ � � �$
  △???
  thành
  
  $△ � � �$
  △???
  (nếu chọn đúng chiều) hoặc một tam giác khác để sử dụng tính chất đường cao và cạnh bằng nhau.
- Cách khác (phổ biến hơn): Xét hai tam giác bằng nhau:
  - Xét
    
    $△ � � �$
    △???
    và
    
    $△ � � �$
    △???
    :
    - $� � = � �$
      ??=??
      (theo giả thiết)
    - $� � = � �$
      ??=??
      (theo giả thiết)
    - $∠ � � � = ∠ � � �$
      ∠???=∠???
      (Góc ngoài và góc trong cùng phía của tứ giác nội tiếp
      
      $� � � �$
      ????
      , hoặc dùng góc phụ với
      
      $∠ �$
      ∠?
      ).
    - Từ đó suy ra
      
      $△ � � � ≅ △ � � �$
      △???≅△???
      (c.g.c).
  - Do đó,
    
    $� � = � �$
    ??=??
    và
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠???=∠???
    (hoặc
    
    $∠ � � � = ∠ � � �$
    ∠???=∠???
    , tùy cách xác định góc).
Chứng minh

$△ � � �$
△???
vuông:
- Từ
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △???≅△???
  , ta có
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠???=∠???
  và
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠???=∠???
  .
- Xét
  
  $△ � � �$
  △???
  và
  
  $△ � � �$
  △???
  .
- Sử dụng phép quay
  
  $90^{\circ}$
  90∘
  quanh điểm A (hoặc dùng tính chất tứ giác nội tiếp
  
  $� � � �$
  ????
  , suy ra
  
  $∠ � � � = ∠ � � �$
  ∠???=∠???
  ... rồi dùng góc kề bù) để chứng minh rằng
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  (thực ra góc này chính là
  
  $∠ � � �$
  ∠???
  nên không thể vuông tại A, trừ khi
  
  $△ � � �$
  △???
  vuông).
- Phải chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  (hoặc
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  ).
- Sử dụng kết quả
  
  $△ � � � ≅ △ � � �$
  △???≅△???
  để chứng minh
  
  $∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???=90∘
  bằng cách ghép các góc lại (ví dụ
  
  $∠ � � � + ∠ � � � = 90^{\circ}$
  ∠???+∠???=90∘
  hoặc qua phép quay).

Kết luận: Tam giác

� � �

???

là tam giác vuông tại

�

?

(hoặc

�

?

) nếu chứng minh được

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

(hoặc

∠ � � � = 90^{\circ}

∠???=90∘

) thông qua việc chứng minh hai tam giác bằng nhau và sử dụng góc kề bù hoặc phép quay.

Lưu ý: Chứng minh này cần xem xét kỹ lưỡng các góc phụ và góc kề bù, thường sử dụng phép quay 90 độ quanh một điểm trung tâm để tạo ra góc vuông.

Answer 5

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.
Kẻ BH ⟂ AC tại H, CK ⟂ AB tại K.
Trên tia đối của tia BH lấy điểm D sao cho BD = AC.
Trên tia đối của tia CK lấy điểm E sao cho CE = AB.

Ta có:
BH ⟂ AC ⇒ ∠BHC = 90°.
CK ⟂ AB ⇒ ∠BKC = 90°.

Xét tam giác ABD và tam giác ACE:
BD = AC (theo cách dựng).
CE = AB (theo cách dựng).

Suy ra BD ⟂ CE.

Do đó ∠ADE = 90°.

Vậy tam giác ADE là tam giác vuông.

3 câu trả lời 167

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7