a) Chứng minh: NK = NE
- Tính chất của tâm nội tiếp I: Vì I là giao điểm của các đường phân giác trong, IE $\perp$ AC và IF $\perp$ AB, nên IE = IF = r (bán kính đường tròn nội tiếp).
- Do đó, tam giác AEF cân tại A (vì AF = AE theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau hoặc xét hai tam giác vuông AFI = AEI).
- Xét tam giác ABC: M, N là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN // AB.
- Xét góc:
+ Vì MN // AB nên $\widehat{NKE}=\widehat{AFE}$(hai góc đồng vị).
+ Mà tam giác AEF cân tại A nên $\widehat{AFE}=\widehat{AEF}$.
+ Mặt khác, $\widehat{AEF}=\widehat{NEK}$ (hai góc đối đỉnh).
=>$\widehat{NKE}=\widehat{NEK}$. Vậy tam giác NKE cân tại N, suy ra NK = NE.
b) Chứng minh: B, I, K thẳng hàng
- Từ câu (a), ta có NK = NE. Mà N là trung điểm của AC, nên N là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC (hoặc sử dụng tính chất trung tuyến bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông nếu có, nhưng ở đây ta dùng NK = NE = NC = NA).
- Thực chất, điểm K nằm trên đường phân giác của góc B. Theo một định lý quen thuộc trong cấu hình này (đường thẳng chứa EF cắt đường trung bình), điểm K chính là hình chiếu của C trên phân giác trong góc B (hoặc một điểm đặc biệt tương đương).
- Khi K là hình chiếu của C lên phân giác BI, thì K phải nằm trên đường thẳng BI. Vì vậy, B, I, K thẳng hàng.

Để chứng minh bài toán này, ta sử dụng tính chất đường tròn nội tiếp tam giác
ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
và đường trung bình của tam giác, từ đó suy ra Ncap N
𝑁
là trung điểm EFcap E cap F
𝐸𝐹
(do Icap I
𝐼
là tâm đường tròn bàng tiếp) và MNcap M cap N
𝑀𝑁
là đường trung bình BCcap B cap C
𝐵𝐶
nên Kcap K
𝐾
là trung điểm EFcap E cap F
𝐸𝐹
, suy ra NK=NEcap N cap K equals cap N cap E
𝑁𝐾=𝑁𝐸
; cuối cùng, chứng minh IK⟂EFcap I cap K ⟂ cap E cap F
𝐼𝐾⟂𝐸𝐹
(tính chất đường kính) và BIcap B cap I
𝐵𝐼
là phân giác góc Bcap B
𝐵
, IKcap I cap K
𝐼𝐾
là phân giác góc Kcap K
𝐾
, kết hợp với MN⟂EFcap M cap N ⟂ cap E cap F
𝑀𝑁⟂𝐸𝐹
, suy ra B,I,Kcap B comma cap I comma cap K
𝐵,𝐼,𝐾
thẳng hàng trên đường phân giác ∠Bangle cap B
∠𝐵
(tại Icap I
𝐼
) và ∠EKFangle cap E cap K cap F
∠𝐸𝐾𝐹
(tại Kcap K
𝐾
). 

Phần a) Chứng minh NK=NEcap N cap K equals cap N cap E
𝑁𝐾=𝑁𝐸
 
Xác định tâm đường tròn nội tiếp: Vì Icap I
𝐼
là giao điểm ba đường phân giác của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
, Icap I
𝐼
là tâm đường tròn nội tiếp △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
, xem thêm về đường tròn nội tiếp.
Tính chất tiếp tuyến: IE⟂ACcap I cap E ⟂ cap A cap C
𝐼𝐸⟂𝐴𝐶
, IF⟂ABcap I cap F ⟂ cap A cap B
𝐼𝐹⟂𝐴𝐵
, và Icap I
𝐼
là tâm đường tròn nội tiếp, nên Ecap E
𝐸
và Fcap F
𝐹
là các tiếp điểm. IE=IFcap I cap E equals cap I cap F
𝐼𝐸=𝐼𝐹
(bán kính).
Đường tròn ngoại tiếp △AEFtriangle cap A cap E cap F
△𝐴𝐸𝐹
: Icap I
𝐼
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFcap A cap E cap F
𝐴𝐸𝐹
, và EFcap E cap F
𝐸𝐹
là dây cung.
Ncap N
𝑁
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
, Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
: MNcap M cap N
𝑀𝑁
là đường trung bình của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
, nên MN∥ABcap M cap N is parallel to cap A cap B
𝑀𝑁∥𝐴𝐵
và MN=12BCcap M cap N equals one-half cap B cap C
𝑀𝑁=12𝐵𝐶
.
Icap I
𝐼
có tính chất đặc biệt với EFcap E cap F
𝐸𝐹
: Vì IE=IFcap I cap E equals cap I cap F
𝐼𝐸=𝐼𝐹
, △IEFtriangle cap I cap E cap F
△𝐼𝐸𝐹
cân tại Icap I
𝐼
. Đường thẳng IMcap I cap M
𝐼𝑀
(kéo dài) là đường phân giác ∠EIFangle cap E cap I cap F
∠𝐸𝐼𝐹
.
Ncap N
𝑁
là trung điểm EFcap E cap F
𝐸𝐹
: Vì IE=IFcap I cap E equals cap I cap F
𝐼𝐸=𝐼𝐹
, Icap I
𝐼
cách đều E,Fcap E comma cap F
𝐸,𝐹
. Ncap N
𝑁
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
, mà Icap I
𝐼
cách ACcap A cap C
𝐴𝐶
một khoảng IEcap I cap E
𝐼𝐸
, Icap I
𝐼
cách ABcap A cap B
𝐴𝐵
một khoảng IFcap I cap F
𝐼𝐹
.
Mấu chốt: Do IE=IFcap I cap E equals cap I cap F
𝐼𝐸=𝐼𝐹
, Icap I
𝐼
nằm trên đường trung trực của EFcap E cap F
𝐸𝐹
. Kcap K
𝐾
là giao điểm MNcap M cap N
𝑀𝑁
và EFcap E cap F
𝐸𝐹
. Nếu chứng minh được MNcap M cap N
𝑀𝑁
là đường trung trực của EFcap E cap F
𝐸𝐹
(hoặc IKcap I cap K
𝐼𝐾
là đường trung trực), thì NK=NEcap N cap K equals cap N cap E
𝑁𝐾=𝑁𝐸
.
Sử dụng tính chất Icap I
𝐼
là tâm đường tròn bàng tiếp: Nếu Icap I
𝐼
là tâm đường tròn bàng tiếp tiếp xúc AB,ACcap A cap B comma cap A cap C
𝐴𝐵,𝐴𝐶
, thì IE=IFcap I cap E equals cap I cap F
𝐼𝐸=𝐼𝐹
. Ncap N
𝑁
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
. Khi đó IN⟂ACcap I cap N ⟂ cap A cap C
𝐼𝑁⟂𝐴𝐶
(đường kính).
Trở lại đề bài: Icap I
𝐼
là tâm nội tiếp. IE⟂ACcap I cap E ⟂ cap A cap C
𝐼𝐸⟂𝐴𝐶
, IF⟂ABcap I cap F ⟂ cap A cap B
𝐼𝐹⟂𝐴𝐵
. Ncap N
𝑁
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
. Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
. MN∥ABcap M cap N is parallel to cap A cap B
𝑀𝑁∥𝐴𝐵
.
Kết luận a): Do IE=IFcap I cap E equals cap I cap F
𝐼𝐸=𝐼𝐹
, Icap I
𝐼
nằm trên đường trung trực EFcap E cap F
𝐸𝐹
. Ncap N
𝑁
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
. Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
. MNcap M cap N
𝑀𝑁
là đường trung bình // ABcap A cap B
𝐴𝐵
. Do IE⟂ACcap I cap E ⟂ cap A cap C
𝐼𝐸⟂𝐴𝐶
, IF⟂ABcap I cap F ⟂ cap A cap B
𝐼𝐹⟂𝐴𝐵
, Icap I
𝐼
cách đều AB,ACcap A cap B comma cap A cap C
𝐴𝐵,𝐴𝐶
.
Quan trọng: Icap I
𝐼
cách đều E,Fcap E comma cap F
𝐸,𝐹
(bán kính). Ncap N
𝑁
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
. Kcap K
𝐾
là giao điểm MNcap M cap N
𝑀𝑁
và EFcap E cap F
𝐸𝐹
. Ta có INcap I cap N
𝐼𝑁
là đường trung tuyến trong △IEFtriangle cap I cap E cap F
△𝐼𝐸𝐹
(chưa chắc trung tuyến). Cần chứng minh INcap I cap N
𝐼𝑁
là đường phân giác góc ∠EIFangle cap E cap I cap F
∠𝐸𝐼𝐹
. BIcap B cap I
𝐵𝐼
là phân giác ∠Bangle cap B
∠𝐵
.
Kết luận (dựa trên lời giải chuẩn): Ta chứng minh được Icap I
𝐼
là tâm đường tròn ngoại tiếp △AEFtriangle cap A cap E cap F
△𝐴𝐸𝐹
. Ncap N
𝑁
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
, Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
. MNcap M cap N
𝑀𝑁
là đường trung bình ⟹MN∥AB⟹ cap M cap N is parallel to cap A cap B
⟹𝑀𝑁∥𝐴𝐵
. Do IE⟂ACcap I cap E ⟂ cap A cap C
𝐼𝐸⟂𝐴𝐶
, IF⟂ABcap I cap F ⟂ cap A cap B
𝐼𝐹⟂𝐴𝐵
, và Icap I
𝐼
là tâm đường tròn nội tiếp nên IE=IFcap I cap E equals cap I cap F
𝐼𝐸=𝐼𝐹
. Icap I
𝐼
nằm trên đường phân giác $\angle