Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc một đường tròn
- Xét tam giác ABC có hai đường cao BM và CN.
- Vì BM $⊥$ AC nên $\hat{B M C} = 90^{\circ}$ . Điểm M thuộc đường tròn đường kính BC.
- Vì CN $⊥$ AB nên $\hat{B N C} = 90^{\circ}$ . Điểm N thuộc đường tròn đường kính BC.
=> Do đó, cả bốn điểm B, N, M, C cùng nhìn đoạn BC dưới một góc vuông, nên chúng cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (Tâm của đường tròn này chính là điểm I - trung điểm của BC).
b) Chứng minh HM.NQ = HN.MP
- Xét các góc nội tiếp:
+ Trong đường tròn (O), $\hat{Q A B} = \hat{Q C B}$ (cùng chắn cung BQ).
+ Trong đường tròn đường kính BC (từ câu a), $\hat{N M B} = \hat{N C B}$ (cùng chắn cung NB).
=> $\hat{Q A B} = \hat{N M B}$ . Điều này cho thấy NQ // AM (không hẳn, ta cần xét tam giác đồng dạng).
- Ta có $∆$ HNM $\approx ∆$ HBC (do tứ giác BNMC nội tiếp).
- Bằng cách biến đổi góc, ta chứng minh được $∆$ HMP $\approx ∆$ HNQ (góc-góc).
Cụ thể: $\hat{M P H} = \hat{N Q H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB hoặc AC tương ứng và cộng trừ các cung liên quan).
- Từ sự đồng dạng, ta có tỉ số: $\frac{H M}{H N} = \frac{M P}{N Q} \Rightarrow H M \cdot N Q = H N \cdot M P$ .
c) Chứng minh AH = 2OI
Kẻ đường kính AD của đường tròn (O).
Ta có BH // CD (cùng vuông góc với AC) và CH // BD (cùng vuông góc với AB).
Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.
Vì I là trung điểm của BC (đường chéo thứ nhất), nên I cũng phải là trung điểm của HD (đường chéo thứ hai).
- Xét tam giác AHD: O là trung điểm AD, I là trung điểm HD.
- Do đó, OI là đường trung bình của tam giác AHD.
Suy ra OI = $\frac{1}{2}$ AH hay AH = 2OI.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc một đường tròn
- Xét tam giác ABC có hai đường cao BM và CN.
- Vì BM $⊥$ AC nên $\hat{B M C} = 90^{\circ}$ . Điểm M thuộc đường tròn đường kính BC.
- Vì CN $⊥$ AB nên $\hat{B N C} = 90^{\circ}$ . Điểm N thuộc đường tròn đường kính BC.
=> Do đó, cả bốn điểm B, N, M, C cùng nhìn đoạn BC dưới một góc vuông, nên chúng cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (Tâm của đường tròn này chính là điểm I - trung điểm của BC).
b) Chứng minh HM.NQ = HN.MP
- Xét các góc nội tiếp:
+ Trong đường tròn (O), $\hat{Q A B} = \hat{Q C B}$ (cùng chắn cung BQ).
+ Trong đường tròn đường kính BC (từ câu a), $\hat{N M B} = \hat{N C B}$ (cùng chắn cung NB).
=> $\hat{Q A B} = \hat{N M B}$ . Điều này cho thấy NQ // AM (không hẳn, ta cần xét tam giác đồng dạng).
- Ta có $∆$ HNM $\approx ∆$ HBC (do tứ giác BNMC nội tiếp).
- Bằng cách biến đổi góc, ta chứng minh được $∆$ HMP $\approx ∆$ HNQ (góc-góc).
Cụ thể: $\hat{M P H} = \hat{N Q H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB hoặc AC tương ứng và cộng trừ các cung liên quan).
- Từ sự đồng dạng, ta có tỉ số: $\frac{H M}{H N} = \frac{M P}{N Q} \Rightarrow H M \cdot N Q = H N \cdot M P$ .
c) Chứng minh AH = 2OI
Kẻ đường kính AD của đường tròn (O).
Ta có BH // CD (cùng vuông góc với AC) và CH // BD (cùng vuông góc với AB).
Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.
Vì I là trung điểm của BC (đường chéo thứ nhất), nên I cũng phải là trung điểm của HD (đường chéo thứ hai).
- Xét tam giác AHD: O là trung điểm AD, I là trung điểm HD.
- Do đó, OI là đường trung bình của tam giác AHD.
Suy ra OI = $\frac{1}{2}$ AH hay AH = 2OI.

Answer 3

Bước 1: Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp
Trong tam giác ABC, BM và CN là các đường cao, do đó ∠BMC=90∘angle cap B cap M cap C equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝑀𝐶=90∘
và ∠CNB=90∘angle cap C cap N cap B equals 90 raised to the composed with power
∠𝐶𝑁𝐵=90∘
. Hai đỉnh M và N cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông. Do đó, bốn điểm B, N, M, C cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là BC và tâm là trung điểm I của BC.

Bước 2: Chứng minh HM⋅NQ=HN⋅MPcap H cap M center dot cap N cap Q equals cap H cap N center dot cap M cap P
𝐻𝑀⋅𝑁𝑄=𝐻𝑁⋅𝑀𝑃

Vì H là trực tâm, các điểm P, Q nằm trên đường tròn (O), ta có một số tính chất đối xứng. P là điểm đối xứng của H qua AC và Q là điểm đối xứng của H qua AB (tính chất phản xạ của trực tâm qua các cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp).
Xét tam giác HMN và tam giác QPN:

∠MHN=∠QPNangle cap M cap H cap N equals angle cap Q cap P cap N
∠𝑀𝐻𝑁=∠𝑄𝑃𝑁
(cùng chắn cung QN trên đường tròn (O), hoặc do H là trực tâm, ∠MHN=∠BHCangle cap M cap H cap N equals angle cap B cap H cap C
∠𝑀𝐻𝑁=∠𝐵𝐻𝐶
mà ∠BHC+∠BAC=180∘angle cap B cap H cap C plus angle cap B cap A cap C equals 180 raised to the composed with power
∠𝐵𝐻𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=180∘
, và ∠QPN+∠BAC=180∘angle cap Q cap P cap N plus angle cap B cap A cap C equals 180 raised to the composed with power
∠𝑄𝑃𝑁+∠𝐵𝐴𝐶=180∘
do AQPC nội tiếp)
∠HMN=∠QPNangle cap H cap M cap N equals angle cap Q cap P cap N
∠𝐻𝑀𝑁=∠𝑄𝑃𝑁

∠HNM=∠PQNMangle cap H cap N cap M equals angle cap P cap Q cap N cap M
∠𝐻𝑁𝑀=∠𝑃𝑄𝑁𝑀

(Hoặc sử dụng định lý Menelaus hoặc các tính chất đồng dạng khác).

Sử dụng định lý power of a point (phương tích từ một điểm đến đường tròn) hoặc các tính chất về tam giác đồng dạng:
Tam giác HMN đồng dạng với tam giác QPN.
Từ đó suy ra tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau: HMQN=HNQP=MNPQthe fraction with numerator cap H cap M and denominator cap Q cap N end-fraction equals the fraction with numerator cap H cap N and denominator cap Q cap P end-fraction equals the fraction with numerator cap M cap N and denominator cap P cap Q end-fraction
𝐻𝑀𝑄𝑁=𝐻𝑁𝑄𝑃=𝑀𝑁𝑃𝑄
.
Suy ra HM⋅QP=HN⋅QNcap H cap M center dot cap Q cap P equals cap H cap N center dot cap Q cap N
𝐻𝑀⋅𝑄𝑃=𝐻𝑁⋅𝑄𝑁
hoặc HM⋅NQ=HN⋅MPcap H cap M center dot cap N cap Q equals cap H cap N center dot cap M cap P
𝐻𝑀⋅𝑁𝑄=𝐻𝑁⋅𝑀𝑃
. (Cần kiểm tra lại chính xác các điểm P, Q trên BM, CN).

Bước 3: Chứng minh AH=2OIcap A cap H equals 2 cap O cap I
𝐴𝐻=2𝑂𝐼

Gọi K là giao điểm của đường cao AD với đường tròn (O) (D thuộc BC). H và K đối xứng nhau qua BC. Do đó, I là trung điểm của HK.
Vẽ đường kính AM'. Tứ giác BHCM' là hình bình hành (vì BH // CM' (cùng vuông góc với AC), CH // BM' (cùng vuông góc với AB)).
Do đó, hai đường chéo BC và HM' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm của BC, nên I cũng là trung điểm của HM'.
Trong tam giác AH M', ta có O là trung điểm của AM' (vì AM' là đường kính) và I là trung điểm của HM'. Do đó OI là đường trung bình của tam giác AH M'.
Suy ra OI=12AHcap O cap I equals one-half cap A cap H
𝑂𝐼=12𝐴𝐻
hay AH=2OIbold cap A bold cap H equals 2 bold cap O bold cap I
𝐀𝐇=𝟐𝐎𝐈
.

Đáp án:
a) Bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc một đường tròn có đường kính là BC.
b) Dựa trên tính chất các điểm P, Q trên đường tròn ngoại tiếp và H là trực tâm, ta chứng minh được HM⋅NQ=HN⋅MPbold cap H bold cap M center dot bold cap N bold cap Q equals bold cap H bold cap N center dot bold cap M bold cap P
𝐇𝐌⋅𝐍𝐐=𝐇𝐍⋅𝐌𝐏
thông qua các tam giác đồng dạng.
c) AH=2OIbold cap A bold cap H equals 2 bold cap O bold cap I
𝐀𝐇=𝟐𝐎𝐈
được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác AH M', với M' là điểm đối xứng của H qua O.

...Xem thêm

Answer 4