a) Chứng minh BE = CD và ED = BC
Ta có:
D nằm trên tia đối của AB và AD = AB ⟹ A là trung điểm của BD.
Xét hai tam giác: △ABE và △ADC, ta có:
AB = AD (giả thiết),
$\widehat{ABE} = \widehat{ADC}$ (so le trong vì BE // CD),
$\widehat{AEB} = \widehat{ACD}$ (so le trong).
=>  △ABE = △ADC(góc – cạnh – góc)
Do đó: BE = CD
Xét tứ giác BCDE. Vì BE // CD và BE = CD nên BCDE là hình bình hành.
=>  ED = BC
b) Chứng minh A là trung điểm của PQ
Gọi:
P là trung điểm của BE,
Q là trung điểm của CD.
Từ câu a) ta có: BE = CD
Lại có A là trung điểm của BD.
Mà B đối xứng với D, do BE // CDB và BE = CD, điểm E sẽ đối xứng với C.
=> P đối xứng với Q qua A.
Vì vậy: A là trung điểm của PQ
c) Xác định vị trí của MMM để MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất
Đặt: a = BC, b = CA, c = AB
=> Khi đó biểu thức cần xét là: a.MA + b.MB + c.MC
- Nhận xét quan trọng
=> Đây là tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh, có trọng số là độ dài cạnh đối diện.
=> Một kết quả hình học cổ điển cho biết: Với tam giác nhọn ABC, tổng a.MA + b.MB + c.MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta trình bày lời giải theo từng ý.

a) Chứng minh BE=CDBE = CDBE=CD và ED=BCED = BCED=BC
Do DDD nằm trên tia đối của tia ABABAB và AB=ADAB = ADAB=AD nên AAA là trung điểm của đoạn BDBDBD.
Qua BBB kẻ đường thẳng song song với CDCDCD, cắt ACACAC tại EEE.
Xét tam giác ACDACDACD:

BBB là điểm sao cho AB=ADAB = ADAB=AD ⇒ BBB là ảnh của DDD qua phép đối xứng tâm AAA.
Đường thẳng qua BBB song song với CDCDCD cắt ACACAC tại EEE ⇒ EEE là ảnh của CCC qua phép đối xứng tâm AAA.
Do phép đối xứng tâm bảo toàn độ dài nên:

BE=CD,ED=BC.BE = CD,\qquad ED = BC.BE=CD,ED=BC.
b) Chứng minh AAA là trung điểm của PQPQPQ
Gọi:

PPP là trung điểm của BEBEBE,
QQQ là trung điểm của CDCDCD.
Từ câu a), ta có:

BE=CD.BE = CD.BE=CD.Mặt khác, như đã lập luận, phép đối xứng tâm AAA biến:

B↔DB \leftrightarrow DB↔D,
E↔CE \leftrightarrow CE↔C.
Do đó:

Trung điểm PPP của BEBEBE được biến thành trung điểm QQQ của CDCDCD.
Suy ra AAA là trung điểm của đoạn PQPQPQ.

c) Xác định vị trí của MMM để
MA⋅BC+MB⋅AC+MC⋅ABMA\cdot BC + MB\cdot AC + MC\cdot ABMA⋅BC+MB⋅AC+MC⋅ABđạt giá trị nhỏ nhất

Xét biểu thức:

F(M)=BC⋅MA+CA⋅MB+AB⋅MC.F(M)=BC\cdot MA + CA\cdot MB + AB\cdot MC.F(M)=BC⋅MA+CA⋅MB+AB⋅MC.Ta có thể hiểu F(M)F(M)F(M) là tổng các khoảng cách từ MMM đến các đỉnh, có trọng số là các cạnh đối diện.

Vì AB<ACAB < ACAB<AC nên trong ba hệ số BC,CA,ABBC, CA, ABBC,CA,AB, hệ số BCBCBC là lớn nhất. Do đó:

Thành phần BC⋅MABC \cdot MABC⋅MA ảnh hưởng lớn nhất đến giá trị của F(M)F(M)F(M).
Để F(M)F(M)F(M) nhỏ nhất, ta cần làm cho MAMAMA nhỏ nhất có thể, tức là:

MA=0⇒M≡A.MA = 0 \quad \Rightarrow \quad M \equiv A.MA=0⇒M≡A.Khi đó:

Fmin⁡=AB⋅AC+AC⋅AB=2AB⋅AC.F_{\min} = AB\cdot AC + AC\cdot AB = 2AB\cdot AC.Fmin​=AB⋅AC+AC⋅AB=2AB⋅AC.
✅ Kết luận
a) BE=CDBE = CDBE=CD, ED=BCED = BCED=BC.
b) AAA là trung điểm của PQPQPQ.
c) Giá trị nhỏ nhất của

MA⋅BC+MB⋅AC+MC⋅ABMA\cdot BC + MB\cdot AC + MC\cdot ABMA⋅BC+MB⋅AC+MC⋅ABđạt được khi MMM trùng với điểm AAA.