Bước 1: Phân tích số dư 
Theo đề bài, ta có các phép chia sau: 
aa
𝑎
chia cho 55
5
dư 33
3
, có thể viết là: a=5k+3a equals 5 k plus 3
𝑎=5𝑘+3
( k∈Nk is an element of the natural numbers
𝑘∈ℕ
). Suy ra a+2=5k+5a plus 2 equals 5 k plus 5
𝑎+2=5𝑘+5
, do đó a+2a plus 2
𝑎+2
chia hết cho 55
5
.
aa
𝑎
chia cho 77
7
dư 55
5
, có thể viết là: a=7m+5a equals 7 m plus 5
𝑎=7𝑚+5
( m∈Nm is an element of the natural numbers
𝑚∈ℕ
). Suy ra a+2=7m+7a plus 2 equals 7 m plus 7
𝑎+2=7𝑚+7
, do đó a+2a plus 2
𝑎+2
chia hết cho 77
7
. 

Bước 2: Tìm bội chung nhỏ nhất 
Vì a+2a plus 2
𝑎+2
chia hết cho cả 55
5
và 77
7
, nên a+2a plus 2
𝑎+2
là bội chung của 55
5
và 77
7
. Để tìm số tự nhiên aa
𝑎
nhỏ nhất, ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 55
5
và 77
7
.
Vì 55
5
và 77
7
là hai số nguyên tố cùng nhau, ta có:
BCNN(5,7)=5×7=35cap B cap C cap N cap N open paren 5 comma 7 close paren equals 5 cross 7 equals 35
𝐵𝐶𝑁𝑁(5,7)=5×7=35

Bước 3: Tính giá trị của aa
𝑎
 
Từ kết quả trên, ta có:
a+2=35n (vi n∈N*)a plus 2 equals 35 n (vi n is an element of the natural numbers raised to the * power )
𝑎+2=35𝑛 (vi 𝑛∈ℕ*)
Để aa
𝑎
là số tự nhiên nhỏ nhất, ta chọn n=1n equals 1
𝑛=1
:
a+2=35a plus 2 equals 35
𝑎+2=35
a=35−2=33a equals 35 minus 2 equals 33
𝑎=35−2=33

Kiểm tra lại: 33∶5=633 colon 5 equals 6
33∶5=6
dư 33
3
(đúng); 33∶7=433 colon 7 equals 4
33∶7=4
dư 55
5
(đúng). 

Đáp án: 
Số tự nhiên aa
𝑎
nhỏ nhất cần tìm là 33.