a) Chứng minh ΔBDF=ΔEDCcap delta cap B cap D cap F equals cap delta cap E cap D cap C
Δ𝐵𝐷𝐹=Δ𝐸𝐷𝐶
 
Xét ΔABDcap delta cap A cap B cap D
Δ𝐴𝐵𝐷
và ΔAEDcap delta cap A cap E cap D
Δ𝐴𝐸𝐷
:Cạnh ADcap A cap D
𝐴𝐷
là cạnh chung.
BAD̂=EAD̂modified cap B cap A cap D with hat above equals modified cap E cap A cap D with hat above
𝐵𝐴𝐷=𝐸𝐴𝐷
(do ADcap A cap D
𝐴𝐷
là tia phân giác của BAĈmodified cap B cap A cap C with hat above
𝐵𝐴𝐶
).
AB=AEcap A cap B equals cap A cap E
𝐴𝐵=𝐴𝐸
(theo giả thiết).
⇒ΔABD=ΔAEDimplies cap delta cap A cap B cap D equals cap delta cap A cap E cap D
⇒Δ𝐴𝐵𝐷=Δ𝐴𝐸𝐷
(cạnh - góc - cạnh).
Suy ra: BD=EDcap B cap D equals cap E cap D
𝐵𝐷=𝐸𝐷
và ABD̂=AED̂modified cap A cap B cap D with hat above equals modified cap A cap E cap D with hat above
𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐷
(các cặp cạnh và góc tương ứng).

Xét các góc kề bù:Ta có ABD̂+DBF̂=180∘modified cap A cap B cap D with hat above plus modified cap D cap B cap F with hat above equals 180 raised to the composed with power
𝐴𝐵𝐷+𝐷𝐵𝐹=180∘
và AED̂+DEĈ=180∘modified cap A cap E cap D with hat above plus modified cap D cap E cap C with hat above equals 180 raised to the composed with power
𝐴𝐸𝐷+𝐷𝐸𝐶=180∘
.
Mà ABD̂=AED̂modified cap A cap B cap D with hat above equals modified cap A cap E cap D with hat above
𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐷
(chứng minh trên), nên suy ra DBF̂=DEĈmodified cap D cap B cap F with hat above equals modified cap D cap E cap C with hat above
𝐷𝐵𝐹=𝐷𝐸𝐶
.

Xét độ dài các đoạn thẳng:Ta có AF=ACcap A cap F equals cap A cap C
𝐴𝐹=𝐴𝐶
và AB=AEcap A cap B equals cap A cap E
𝐴𝐵=𝐴𝐸
.
Suy ra AF−AB=AC−AE⇒cap A cap F minus cap A cap B equals cap A cap C minus cap A cap E implies
𝐴𝐹−𝐴𝐵=𝐴𝐶−𝐴𝐸⇒
BF=ECcap B cap F equals cap E cap C
𝐵𝐹=𝐸𝐶
.

Xét ΔBDFcap delta cap B cap D cap F
Δ𝐵𝐷𝐹
và ΔEDCcap delta cap E cap D cap C
Δ𝐸𝐷𝐶
: BF=ECcap B cap F equals cap E cap C
𝐵𝐹=𝐸𝐶
(chứng minh trên).
DBF̂=DEĈmodified cap D cap B cap F with hat above equals modified cap D cap E cap C with hat above
𝐷𝐵𝐹=𝐷𝐸𝐶
(chứng minh trên).
BD=EDcap B cap D equals cap E cap D
𝐵𝐷=𝐸𝐷
(chứng minh trên).
⇒ΔBDF=ΔEDCimplies cap delta cap B cap D cap F equals cap delta cap E cap D cap C
⇒Δ𝐵𝐷𝐹=Δ𝐸𝐷𝐶
(cạnh - góc - cạnh). 

b) Chứng minh BF = EC 
Như đã chứng minh ở bước 3 của câu (a): 
Theo giả thiết: AF=ACcap A cap F equals cap A cap C
𝐴𝐹=𝐴𝐶
và AB=AEcap A cap B equals cap A cap E
𝐴𝐵=𝐴𝐸
.
Vì Bcap B
𝐵
nằm giữa Acap A
𝐴
và Fcap F
𝐹
(do AB<AC=AFcap A cap B is less than cap A cap C equals cap A cap F
𝐴𝐵<𝐴𝐶=𝐴𝐹
) và Ecap E
𝐸
nằm giữa Acap A
𝐴
và Ccap C
𝐶
(do AE=AB<ACcap A cap E equals cap A cap B is less than cap A cap C
𝐴𝐸=𝐴𝐵<𝐴𝐶
): BF=AF−ABcap B cap F equals cap A cap F minus cap A cap B
𝐵𝐹=𝐴𝐹−𝐴𝐵

EC=AC−AEcap E cap C equals cap A cap C minus cap A cap E
𝐸𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐸

Thay các giá trị bằng nhau vào, ta có: BF=ECcap B cap F equals cap E cap C
𝐵𝐹=𝐸𝐶
. 

Kết luận: