Chứng minh:
1. Xét tam giác $AEH$:

Ta có $BE \perp AC$ (do $BE$ là đường cao), suy ra $\triangle AEH$ vuông tại $E$.
$G$ là trung điểm của cạnh huyền $AH$.
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Do đó: $GE = GA = GH = \frac{1}{2}AH$.
Vì $GE = GH \Rightarrow \triangle GHE$ cân tại $G$.
Suy ra: $\widehat{GHE} = \widehat{GEH}$ (1).
2. Xét tam giác $BEC$:

Ta có $\triangle BEC$ vuông tại $E$ (vì $BE \perp AC$).
$M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$.
Tương tự, đường trung tuyến $EM = MB = MC = \frac{1}{2}BC$.
Vì $EM = MC \Rightarrow \triangle MCE$ cân tại $M$.
Suy ra: $\widehat{MCE} = \widehat{MEC}$ (2).
3. Kết hợp các góc:

Xét $\triangle ADC$ vuông tại $D$: Ta có $\widehat{DAC} + \widehat{ACD} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn).
Mà $\widehat{DAC}$ chính là $\widehat{GHE}$ (do cùng phụ với $\widehat{AHE}$ hoặc xét cặp góc đồng vị nếu kẻ thêm đường phụ, nhưng đơn giản nhất là nhìn vào $\triangle AEH$ và $\triangle ADC$ có chung góc $C$ và các góc vuông tương ứng).
Cụ thể hơn:

Trong $\triangle ADC$ vuông tại $D$: $\widehat{DAC} + \widehat{C} = 90^\circ$.
Trong $\triangle AEH$ vuông tại $E$: $\widehat{GHE}$ (góc ngoài tại đỉnh $H$) không trực tiếp bằng $\widehat{DAC}$. Ta xét lại:
$\widehat{GHE} = \widehat{AHE}$ (đối đỉnh). Trong $\triangle AHE$ vuông tại $E$, $\widehat{AHE} + \widehat{HAE} = 90^\circ$.
Mà $\widehat{HAE}$ (tức $\widehat{DAC}$) $+ \widehat{C} = 90^\circ$ (do $\triangle ADC$ vuông).
Từ đó suy ra: $\widehat{AHE} = \widehat{C}$. Do đó $\widehat{GHE} = \widehat{C}$.
4. Kết luận:

Từ (1) và (2), ta có: $\widehat{GEH} + \widehat{MEC} = \widehat{GHE} + \widehat{C}$.
Thay $\widehat{GHE} = \widehat{C}$ vào, ta được: $\widehat{GEH} + \widehat{MEC} = \widehat{C} + \widehat{C} = 2\widehat{C}$ (Điều này chưa trực tiếp dẫn đến $90^\circ$).
Cách tiếp cận chính xác nhất bằng tổng góc:

Ta có $\widehat{GEM} = \widehat{HEC} - (\widehat{GEH} + \widehat{MEC})$.

Nhưng dễ nhất là chứng minh:

$\widehat{GEH} = \widehat{GHE}$
$\widehat{MEC} = \widehat{MCE}$
Mà $\widehat{GHE} + \widehat{MCE} = \widehat{AHE} + \widehat{C} = 90^\circ$ (vì $\widehat{AHE}$ phụ với $\widehat{HAE}$, và $\widehat{C}$ cũng phụ với $\widehat{HAE}$ trong tam giác vuông $ADC$).
Vậy $\widehat{GEH} + \widehat{MEC} = 90^\circ$.
Ta có $\widehat{GEH} + \widehat{HEM} + \widehat{MEC} = \widehat{AEC} = 180^\circ$ là không đúng. Ba góc $\widehat{GEH}, \widehat{HEM}, \widehat{MEC}$ cùng tạo thành góc $\widehat{GEM}$ thông qua việc cộng góc:
Thực tế: $\widehat{GEM} = \widehat{GEC} - \widehat{MEC} = (180^\circ - \widehat{GEA}) - \widehat{MEC}$.
Cách đơn giản nhất: $\widehat{GEM} = \widehat{GEH} + \widehat{HEM}$. Với $\widehat{HEM} = 90^\circ - \widehat{MEC}$.
$\Rightarrow \widehat{GEM} = \widehat{GHE} + 90^\circ - \widehat{C}$.
Vì $\widehat{GHE} = \widehat{C}$ nên $\widehat{GEM} = \widehat{C} + 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ$.
Vậy $GE \perp ME$ tại $E$.