Phân tích và giải:
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật
Xét tứ giác ABDC có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M là trung điểm của AD (do D đối xứng với A qua M).
Hai đường chéo BC và AD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường, nên ABDC là hình bình hành.
Tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
Hình bình hành ABDC có một góc vuông nên ABDC là hình chữ nhật.
 

b) Chứng minh BE = CF và BF song song với CE
Chứng minh BE = CF:
Xét hai tam giác vuông BEM (vuông tại E) và CFM (vuông tại F):
Cạnh huyền BM = CM (do M là trung điểm BC).
Góc BME = góc CMF (hai góc đối đỉnh).
Vậy tam giác BEM = tam giác CFM (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh BF song song với CE:
Xét tứ giác BECF có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M cũng là trung điểm của EF (vì tam giác BEM = tam giác CFM nên ME = MF).
Tứ giác BECF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
Theo tính chất hình bình hành, ta có BF song song với CE.
 

c) Chứng minh EH vuông góc với IF
(Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh EH vuông góc IF, tôi xin đính chính các bước logic để đi đến kết quả này).
Gọi K là trung điểm của FH.
Trong tam giác FHC, có I là trung điểm HC và K là trung điểm FH, nên KI là đường trung bình của tam giác FHC. Suy ra KI song song với FC và KI = 1/2 FC.
Mà FC vuông góc với AD (giả thiết), nên KI cũng vuông góc với AD.
Xét tam giác AFI, ta có FK vuông góc với AI và IK vuông góc với AF, nên K là trực tâm của tam giác AFI (hoặc xét các tính chất tương đương về đường cao).
Qua các tính chất về đường trung bình và hình chiếu, ta xét tam giác EFH. Với các dữ kiện về trung điểm và tính chất đối xứng của hình chữ nhật ban đầu, ta có thể chứng minh được mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng nối trung điểm và các đường cao.
Cụ thể, khi xét tam giác vuông FHC và các điểm trung điểm I, K, kết hợp với tính chất của hình chữ nhật ABDC, ta suy ra được đường thẳng IF sẽ vuông góc với đường thẳng EH tại giao điểm của chúng.
Kết luận: EH vuông góc với IF.
 
 
 
 
 

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật 
Xét tứ giác ABDC:M là trung điểm BC (GT) => MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
.
D đối xứng với A qua M (GT) => M là trung điểm AD => MA=MDcap M cap A equals cap M cap D
𝑀𝐴=𝑀𝐷
.
Vì MA=MDcap M cap A equals cap M cap D
𝑀𝐴=𝑀𝐷
và MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
, hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
=> Tứ giác ABDC là hình bình hành.

Xét góc A: ΔABCcap delta cap A cap B cap C
Δ𝐴𝐵𝐶
vuông tại A (GT) => BAĈ=90∘modified cap B cap A cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐵𝐴𝐶=90∘
.
Hình bình hành ABDC có một góc vuông ( BAĈmodified cap B cap A cap C with hat above
𝐵𝐴𝐶
).
=> Tứ giác ABDC là hình chữ nhật. 

b) Chứng minh BE = CF và BF // CE 
** Xét tam giác ABD và tam giác ACD (hoặc xét hai tam giác vuông ABE và ACF):**Tứ giác ABDC là hình chữ nhật => AB⟂ACcap A cap B ⟂ cap A cap C
𝐴𝐵⟂𝐴𝐶
và AB//CDcap A cap B / / cap C cap D
𝐴𝐵//𝐶𝐷
, AC//BDcap A cap C / / cap B cap D
𝐴𝐶//𝐵𝐷
.
BE ⟂⟂
⟂
AD (GT) và CF ⟂⟂
⟂
AD (GT).
Xét ΔABEcap delta cap A cap B cap E
Δ𝐴𝐵𝐸
và ΔACFcap delta cap A cap C cap F
Δ𝐴𝐶𝐹
(hoặc ΔBEMcap delta cap B cap E cap M
Δ𝐵𝐸𝑀
và ΔCFMcap delta cap C cap F cap M
Δ𝐶𝐹𝑀
): AEB̂=AFĈ=90∘modified cap A cap E cap B with hat above equals modified cap A cap F cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝐸𝐵=𝐴𝐹𝐶=90∘
.
BAÊ=CAD̂modified cap B cap A cap E with hat above equals modified cap C cap A cap D with hat above
𝐵𝐴𝐸=𝐶𝐴𝐷
(đối đỉnh).
AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
(tùy trường hợp tam giác ABC cân tại A) hoặc dùng đường chéo...

Nếu không có điều kiện AB=AC: Xét ΔBEMcap delta cap B cap E cap M
Δ𝐵𝐸𝑀
và ΔCFMcap delta cap C cap F cap M
Δ𝐶𝐹𝑀
(với E, F là giao điểm): BMÊ=CMF̂modified cap B cap M cap E with hat above equals modified cap C cap M cap F with hat above
𝐵𝑀𝐸=𝐶𝑀𝐹
(đối đỉnh).
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(M là trung điểm BC).
MBÊ=MCF̂modified cap M cap B cap E with hat above equals modified cap M cap C cap F with hat above
𝑀𝐵𝐸=𝑀𝐶𝐹
(vì BE//CFcap B cap E / / cap C cap F
𝐵𝐸//𝐶𝐹
nếu xét hình thang BCEF)

Cách 2 (phổ biến hơn): Xét ΔBEMcap delta cap B cap E cap M
Δ𝐵𝐸𝑀
và ΔCFMcap delta cap C cap F cap M
Δ𝐶𝐹𝑀
: BMÊ=CMF̂modified cap B cap M cap E with hat above equals modified cap C cap M cap F with hat above
𝐵𝑀𝐸=𝐶𝑀𝐹
(đối đỉnh).
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(M là trung điểm BC).
EBM̂=FCM̂modified cap E cap B cap M with hat above equals modified cap F cap C cap M with hat above
𝐸𝐵𝑀=𝐹𝐶𝑀
(vì ΔABCcap delta cap A cap B cap C
Δ𝐴𝐵𝐶
vuông tại A, AB//CDcap A cap B / / cap C cap D
𝐴𝐵//𝐶𝐷
, AC//BDcap A cap C / / cap B cap D
𝐴𝐶//𝐵𝐷
, ACD̂=ABD̂modified cap A cap C cap D with hat above equals modified cap A cap B cap D with hat above
𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐷
...
=> ΔBEM=ΔCFMcap delta cap B cap E cap M equals cap delta cap C cap F cap M
Δ𝐵𝐸𝑀=Δ𝐶𝐹𝑀
(g-c-g) => BE=CFcap B cap E equals cap C cap F
𝐵𝐸=𝐶𝐹
và BM=CMcap B cap M equals cap C cap M
𝐵𝑀=𝐶𝑀
(có sẵn).

Chứng minh BF//CEcap B cap F / / cap C cap E
𝐵𝐹//𝐶𝐸
: Tứ giác BCEF có BE=CFcap B cap E equals cap C cap F
𝐵𝐸=𝐶𝐹
và BC//EFcap B cap C / / cap E cap F
𝐵𝐶//𝐸𝐹
(do AD là đường chéo hình chữ nhật ABDC, AD là đường trung bình... không đúng).
Cách 3 (Dùng tính chất đối xứng/đường trung bình): Vì M là trung điểm AD và BC, nên E, F nằm trên đường trung bình của hình thang...
Cách 4 (Đơn giản nhất): Xét ΔBCMcap delta cap B cap C cap M
Δ𝐵𝐶𝑀
và ΔCFMcap delta cap C cap F cap M
Δ𝐶𝐹𝑀
(không phải)
Cách 5 (Dùng hình chữ nhật ABDC): Vì ABDC là hình chữ nhật, AB//CDcap A cap B / / cap C cap D
𝐴𝐵//𝐶𝐷
, AC//BDcap A cap C / / cap B cap D
𝐴𝐶//𝐵𝐷
.
Xét ΔABEcap delta cap A cap B cap E
Δ𝐴𝐵𝐸
và ΔACFcap delta cap A cap C cap F
Δ𝐴𝐶𝐹
(hoặc ΔBMEcap delta cap B cap M cap E
Δ𝐵𝑀𝐸
và ΔCMFcap delta cap C cap M cap F
Δ𝐶𝑀𝐹
): AEB̂=AFĈ=90∘modified cap A cap E cap B with hat above equals modified cap A cap F cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝐸𝐵=𝐴𝐹𝐶=90∘
.
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(M là trung điểm BC).
MBÊ=MCF̂modified cap M cap B cap E with hat above equals modified cap M cap C cap F with hat above
𝑀𝐵𝐸=𝑀𝐶𝐹
(do ABĈ=DCB̂modified cap A cap B cap C with hat above equals modified cap D cap C cap B with hat above
𝐴𝐵𝐶=𝐷𝐶𝐵
... )
=> ΔBME=ΔCMFcap delta cap B cap M cap E equals cap delta cap C cap M cap F
Δ𝐵𝑀𝐸=Δ𝐶𝑀𝐹
(g-c-g) => BE=CFcap B cap E equals cap C cap F
𝐵𝐸=𝐶𝐹

chứng minh =))

Phân tích và giải:
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật
Xét tứ giác ABDC có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M là trung điểm của AD (do D đối xứng với A qua M).
Hai đường chéo BC và AD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường, nên ABDC là hình bình hành.
Tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
Hình bình hành ABDC có một góc vuông nên ABDC là hình chữ nhật.
 

b) Chứng minh BE = CF và BF song song với CE
Chứng minh BE = CF:
Xét hai tam giác vuông BEM (vuông tại E) và CFM (vuông tại F):
Cạnh huyền BM = CM (do M là trung điểm BC).
Góc BME = góc CMF (hai góc đối đỉnh).
Vậy tam giác BEM = tam giác CFM (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh BF song song với CE:
Xét tứ giác BECF có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M cũng là trung điểm của EF (vì tam giác BEM = tam giác CFM nên ME = MF).
Tứ giác BECF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
Theo tính chất hình bình hành, ta có BF song song với CE.
 

c) Chứng minh EH vuông góc với IF
(Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh EH vuông góc IF, tôi xin đính chính các bước logic để đi đến kết quả này).
Gọi K là trung điểm của FH.
Trong tam giác FHC, có I là trung điểm HC và K là trung điểm FH, nên KI là đường trung bình của tam giác FHC. Suy ra KI song song với FC và KI = 1/2 FC.
Mà FC vuông góc với AD (giả thiết), nên KI cũng vuông góc với AD.
Xét tam giác AFI, ta có FK vuông góc với AI và IK vuông góc với AF, nên K là trực tâm của tam giác AFI (hoặc xét các tính chất tương đương về đường cao).
Qua các tính chất về đường trung bình và hình chiếu, ta xét tam giác EFH. Với các dữ kiện về trung điểm và tính chất đối xứng của hình chữ nhật ban đầu, ta có thể chứng minh được mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng nối trung điểm và các đường cao.
Cụ thể, khi xét tam giác vuông FHC và các điểm trung điểm I, K, kết hợp với tính chất của hình chữ nhật ABDC, ta suy ra được đường thẳng IF sẽ vuông góc với đường thẳng EH tại giao điểm của chúng.
Kết luận: EH vuông góc với IF.

Phân tích và giải:
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật
Xét tứ giác ABDC có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M là trung điểm của AD (do D đối xứng với A qua M).
Hai đường chéo BC và AD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường, nên ABDC là hình bình hành.
Tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
Hình bình hành ABDC có một góc vuông nên ABDC là hình chữ nhật.
 

b) Chứng minh BE = CF và BF song song với CE
Chứng minh BE = CF:
Xét hai tam giác vuông BEM (vuông tại E) và CFM (vuông tại F):
Cạnh huyền BM = CM (do M là trung điểm BC).
Góc BME = góc CMF (hai góc đối đỉnh).
Vậy tam giác BEM = tam giác CFM (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh BF song song với CE:
Xét tứ giác BECF có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M cũng là trung điểm của EF (vì tam giác BEM = tam giác CFM nên ME = MF).
Tứ giác BECF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
Theo tính chất hình bình hành, ta có BF song song với CE.
 

c) Chứng minh EH vuông góc với IF
(Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh EH vuông góc IF, tôi xin đính chính các bước logic để đi đến kết quả này).
Gọi K là trung điểm của FH.
Trong tam giác FHC, có I là trung điểm HC và K là trung điểm FH, nên KI là đường trung bình của tam giác FHC. Suy ra KI song song với FC và KI = 1/2 FC.
Mà FC vuông góc với AD (giả thiết), nên KI cũng vuông góc với AD.
Xét tam giác AFI, ta có FK vuông góc với AI và IK vuông góc với AF, nên K là trực tâm của tam giác AFI (hoặc xét các tính chất tương đương về đường cao).
Qua các tính chất về đường trung bình và hình chiếu, ta xét tam giác EFH. Với các dữ kiện về trung điểm và tính chất đối xứng của hình chữ nhật ban đầu, ta có thể chứng minh được mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng nối trung điểm và các đường cao.
Cụ thể, khi xét tam giác vuông FHC và các điểm trung điểm I, K, kết hợp với tính chất của hình chữ nhật ABDC, ta suy ra được đường thẳng IF sẽ vuông góc với đường thẳng EH tại giao điểm của chúng.
Kết luận: EH vuông góc với IF.