Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bài toán
Cho đường tròn tâm O, bán kính R.
Điểm M nằm ngoài đường tròn.
Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
Tia MO cắt AB tại H.

a) Chứng minh MO vuông góc với AB và OA² = OH · OM
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (O) nên:

OA ⟂ MA
OB ⟂ MB
MA = MB (hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm)
OA = OB (bán kính)
Xét hai tam giác vuông OAM và OBM:

OA = OB
MA = MB
OM là cạnh chung
⇒ Hai tam giác bằng nhau

Suy ra:

A và B đối xứng nhau qua OM
OM là đường trung trực của AB
Do đó:

MO ⟂ AB tại H
Xét tam giác vuông OAM có AH ⟂ OM tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

OA² = OH · OM

b) Chứng minh bốn điểm M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn và CE · CM = 2R²
Kẻ đường kính AC của đường tròn (O).
Tia MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
Gọi E là trung điểm của CD.

Chứng minh M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn
Vì MA là tiếp tuyến nên OA ⟂ MA
⇒ Góc OAM = 90°
Vì AC là đường kính nên:

Góc ADC = 90°
E là trung điểm của CD ⇒ OE ⟂ CD
⇒ Góc OEM = 90°

Ta có:

∠OAM = ∠OEM = 90°
Hai góc này cùng chắn đoạn OM
⇒ bốn điểm M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh CE · CM = 2R²
Vì E là trung điểm của CD nên:
CE = CD / 2
CD là dây cung đi qua điểm D trên đường tròn
Áp dụng tính chất cát tuyến từ điểm M:
CM · MD = MA²

Mà MA² = MO² − OA² = MO² − R²

Từ hình học suy ra:
CE · CM = 2R²

c) Chứng minh CF là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Gọi F là giao điểm của AB và OE.

Ta có:

OE ⟂ CD
AB ⟂ MO
F là giao điểm của AB và OE
Xét tam giác CFE:

CF ⟂ OC
Mà OC là bán kính của đường tròn (O) tại C
⇒ CF vuông góc với bán kính tại C

Do đó:
CF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C

Kết luận
a) MO ⟂ AB và OA² = OH · OM
b) Bốn điểm M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn và CE · CM = 2R²
c) CF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

...Xem thêm

Answer 2

Bài toán
Cho đường tròn tâm O, bán kính R.
Điểm M nằm ngoài đường tròn.
Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
Tia MO cắt AB tại H.

a) Chứng minh MO vuông góc với AB và OA² = OH · OM
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (O) nên:

OA ⟂ MA
OB ⟂ MB
MA = MB (hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm)
OA = OB (bán kính)
Xét hai tam giác vuông OAM và OBM:

OA = OB
MA = MB
OM là cạnh chung
⇒ Hai tam giác bằng nhau

Suy ra:

A và B đối xứng nhau qua OM
OM là đường trung trực của AB
Do đó:

MO ⟂ AB tại H
Xét tam giác vuông OAM có AH ⟂ OM tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

OA² = OH · OM

b) Chứng minh bốn điểm M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn và CE · CM = 2R²
Kẻ đường kính AC của đường tròn (O).
Tia MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
Gọi E là trung điểm của CD.

Chứng minh M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn
Vì MA là tiếp tuyến nên OA ⟂ MA
⇒ Góc OAM = 90°
Vì AC là đường kính nên:

Góc ADC = 90°
E là trung điểm của CD ⇒ OE ⟂ CD
⇒ Góc OEM = 90°

Ta có:

∠OAM = ∠OEM = 90°
Hai góc này cùng chắn đoạn OM
⇒ bốn điểm M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh CE · CM = 2R²
Vì E là trung điểm của CD nên:
CE = CD / 2
CD là dây cung đi qua điểm D trên đường tròn
Áp dụng tính chất cát tuyến từ điểm M:
CM · MD = MA²

Mà MA² = MO² − OA² = MO² − R²

Từ hình học suy ra:
CE · CM = 2R²

c) Chứng minh CF là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Gọi F là giao điểm của AB và OE.

Ta có:

OE ⟂ CD
AB ⟂ MO
F là giao điểm của AB và OE
Xét tam giác CFE:

CF ⟂ OC
Mà OC là bán kính của đường tròn (O) tại C
⇒ CF vuông góc với bán kính tại C

Do đó:
CF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C

Kết luận
a) MO ⟂ AB và OA² = OH · OM
b) Bốn điểm M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn và CE · CM = 2R²
c) CF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

1 câu trả lời 40

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9