Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5 cm, BC = 13 cm.

Yêu cầu:
a) Tính AC
b) Gọi I là trung điểm BC. Tính AI
c) Trên tia AI lấy K sao cho IK = IA. Chứng minh ABKC là hình chữ nhật
d) Gọi M là trung điểm AC. Trên tia đối của MI lấy điểm E sao cho M là trung điểm của IE. Chứng minh AICE là hình thoi

a/ Tính AC
Tam giác vuông tại A → theo định lý Pythagore: AB² + AC² = BC²
AB = 5, BC = 13
AC² = BC² – AB² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144
→ AC = √144 = 12 cm

 Kết quả: AC = 12 cm

b/ Gọi I là trung điểm BC, tính AI
BC = 13 → I là trung điểm → BI = IC = 13 / 2 = 6,5 cm
Tam giác vuông ABC → trung tuyến từ A đến trung điểm BC:

Trung tuyến từ đỉnh vuông bằng nửa cạnh huyền → AI = 1/2 BC = 13 / 2 = 6,5 cm
 Kết quả: AI = 6,5 cm

c/ Trên tia AI lấy điểm K sao cho IK = IA. Chứng minh ABKC là hình chữ nhật
K nằm trên tia AI, IK = IA → K đối xứng với A qua I
Hình chữ nhật ABKC: cần chứng minh 4 góc đều vuông
Cách chứng minh:

I là trung điểm của AK → AK = 2 × AI = 13 cm
Tam giác vuông ABC → AB ⊥ AC
Do đối xứng qua I → các đoạn tạo ra 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc
→ ABKC là hình chữ nhật
 Kết luận: ABKC là hình chữ nhật

d/ Gọi M là trung điểm AC. Trên tia đối của MI lấy E sao cho M là trung điểm của IE. Chứng minh AICE là hình thoi
M là trung điểm AC → AM = MC = 12/2 = 6 cm
Trên tia đối MI → kéo dài từ I qua M, chọn E sao cho M là trung điểm IE → IE = 2 × MI
Hình AICE: có các đặc điểm:

AC và IE là hai đường chéo cắt nhau tại M → M là trung điểm hai đường chéo
Từ tính chất đối xứng và độ dài → 4 cạnh bằng nhau → hình thoi
Vậy AICE là hình thoi

Tóm tắt kết quả
a/ AC = 12 cm
b/ AI = 6,5 cm
c/ ABKC là hình chữ nhật
d/ AICE là hình thoi