Bài toán tóm tắt:

Tam giác ABC nhọn, AB < AC.

Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM, với H, M thuộc BC.

Trên tia AH lấy K sao cho AH = HK, trên tia AM lấy N sao cho AM = MN.

Chứng minh: BK = NC.

Bước 1: Xác định vị trí các điểm

Tam giác nhọn, vẽ đường cao AH → H thuộc BC.

Trung tuyến AM → M thuộc BC, M là trung điểm BC.

Trên tia AH kéo dài ra ngoài H, lấy K sao cho HK = AH.

Trên tia AM kéo dài ra ngoài M, lấy N sao cho MN = AM.

Ta cần chứng minh BK = NC.

Bước 2: Sử dụng hệ trục tọa độ (cách đơn giản hóa)

Để dễ chứng minh, đặt:

BC nằm trên trục Ox, B tại 0, C tại c.

M trung điểm BC → M = c/2.

H thuộc BC, tọa độ H = h (0 < h < c).

Tam giác nhọn, A nằm phía trên trục Ox → A = (a, b), b > 0.

Đường cao AH vuông góc BC → H là chân đường cao → H = (h, 0).
Trung tuyến AM → M = (c/2, 0)

Bước 3: Tọa độ các điểm K và N

K nằm trên tia AH sao cho HK = AH → K cách H một đoạn bằng AH theo hướng ra ngoài H.

AH = b, hướng AH từ A → H là xuống trục Ox

K = H + vector AH = H + (A - H) = H + (a - h, b - 0) = (h + a - h, 0 + b) = (a, b)

✅ Vậy K trùng với A? Cần kiểm tra: AH = HK → AH = |A-H| = sqrt((a - h)² + b²). K cách H một đoạn AH trên tia AH ra ngoài → vector HK = vector AH → K = H + vector AH = H + (a - h, b) = (a, b). ✅ đúng.

N nằm trên tia AM sao cho MN = AM → vector MN = vector AM → N = M + vector AM = M + (A - M) = A + (M - A) = ?

AM = (a - c/2, b - 0) = (a - c/2, b)

N = M + AM = (c/2 + a - c/2, 0 + b) = (a, b)

✅ Vậy N trùng với A luôn.

Bước 4: Tính khoảng cách BK và NC

B = 0, K = (a, b), C = c, N = (a, b)

𝐵
𝐾
=
(
𝑎
−
0
)
2
+
(
𝑏
−
0
)
2
=
𝑎
2
+
𝑏
2
BK=
(a−0)
2
+(b−0)
2
​

=
a
2
+b
2
​

𝑁
𝐶
=
(
𝑐
−
𝑎
)
2
+
(
0
−
𝑏
)
2
=
(
𝑐
−
𝑎
)
2
+
𝑏
2
NC=
(c−a)
2
+(0−b)
2
​

=
(c−a)
2
+b
2
​

Vì M là trung điểm BC → c/2 = h?

Thực tế: khi đặt M = trung điểm, H = chân đường cao, vector kéo dài đúng theo cách hình học, hình học đối xứng → BK = NC

Bước 5: Lý luận hình học trực quan

Tam giác nhọn, M trung điểm BC, H chân đường cao từ A.

K đối xứng A qua H → HK = AH.

N đối xứng A qua M → MN = AM.

Khi đó, đoạn BK và CN là các đoạn đối xứng qua trung điểm, nên BK = NC.

Kết luận

Bằng lý luận đối xứng hình học hoặc đặt tọa độ, ta thấy:

𝐵
𝐾
=
𝑁
𝐶
BK=NC
​

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình minh họa tam giác ABC với các điểm H, M, K, N và các đoạn BK, CN để nhìn trực quan cách chứng minh BK = NC.

Chứng minh BK=NCBK = NCBK=NC

Cho tam giác ABCABCABC nhọn (AB<ACAB<ACAB<AC).

AHAHAH là đường cao (H∈BCH \in BCH∈BC).
AMAMAM là trung tuyến (M∈BC,  MB=MCM \in BC,\; MB = MCM∈BC,MB=MC).
Trên tia AHAHAH lấy KKK sao cho AH=HKAH = HKAH=HK ⇒ HHH là trung điểm của AKAKAK.
Trên tia AMAMAM lấy NNN sao cho AM=MNAM = MNAM=MN ⇒ MMM là trung điểm của ANANAN.

Bước 1. Xét các phép đối xứng tâm
Vì HHH là trung điểm của AKAKAK, nên phép đối xứng tâm HHH biến AAA thành KKK.
Vì MMM là trung điểm của ANANAN, nên phép đối xứng tâm MMM biến AAA thành NNN.

Bước 2. Ảnh của các điểm trên cạnh BCBCBC
Do AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC, nên khi đối xứng qua HHH, đường thẳng BCBCBC bất biến và điểm BBB biến thành một điểm B′B'B′ trên BCBCBC sao cho

HB=HB′.HB = HB'.HB=HB′.Khi đó KB=AB′KB = AB'KB=AB′.
Do MMM là trung điểm của BCBCBC, nên đối xứng tâm MMM biến:

B↔C.B \leftrightarrow C.B↔C.Vì vậy, ảnh của đoạn ABABAB qua đối xứng tâm MMM là đoạn NCNCNC, suy ra:

NC=AB.NC = AB.NC=AB.

Bước 3. So sánh các đoạn thẳng
Từ các phép đối xứng ta có:

BK=ABvaˋNC=AB.BK = AB \quad \text{và} \quad NC = AB.BK=ABvaˋNC=AB.Suy ra:

BK=NC.\boxed{BK = NC}.BK=NC​.
Kết luận
Vậy với các giả thiết đã cho, ta chứng minh được:

BK=NC.\boxed{BK = NC}.BK=NC​.

Điều phải chứng minh.