1. Phân tích giả thiết
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($\widehat{A} = 90^\circ$).
$M$ là trung điểm của $BC$ ($MB = MC$).
$MD \perp AB$ tại $D$ ($\widehat{MDA} = 90^\circ$).
$ME \perp AC$ tại $E$ ($\widehat{MEA} = 90^\circ$).
$I$ đối xứng với $E$ qua $M$ ($MI = ME$ và $M, E, I$ thẳng hàng).

2. Giải chi tiết
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

Xét tứ giác $ADME$, ta có:

$\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$).
$\widehat{ADM} = 90^\circ$ (do $MD \perp AB$).
$\widehat{AEM} = 90^\circ$ (do $ME \perp AC$).
Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

$\Rightarrow$ $ADME$ là hình chữ nhật (đpcm).

b) Chứng minh tứ giác ADIM là hình bình hành

Để chứng minh $ADIM$ là hình bình hành, ta sẽ chứng minh $AD // MI$ và $AD = MI$.

Chứng minh $AD // MI$:

Vì $ADME$ là hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên $AD // ME$.
Vì $I$ nằm trên tia đối của tia $ME$ nên $M, E, I$ thẳng hàng $\Rightarrow ME$ và $MI$ cùng nằm trên một đường thẳng.
Suy ra $AD // MI$ (1).
Chứng minh $AD = MI$:

Vì $ADME$ là hình chữ nhật nên $AD = ME$ (các cạnh đối bằng nhau).
Theo giả thiết, $MI = ME$.
Suy ra $AD = MI$ (2).
Từ (1) và (2), tứ giác $ADIM$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

$\Rightarrow$ $ADIM$ là hình bình hành (đpcm).

3. Mở rộng (Có thể bạn sẽ cần)
Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác:

Vì $M$ là trung điểm $BC$ và $ME // AB$ (cùng $\perp AC$), nên $E$ là trung điểm của $AC$.
Tương tự, $D$ là trung điểm của $AB$.
Do đó $MD = \frac{1}{2} AC$ và $ME = \frac{1}{2} AB$.