Cho hình thang vuông $ABCD$ tại $A$ và $B$. Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:

$A(0; 0)$
$B(2a; 0)$ (vì $AB = 2a$ và nằm trên trục $Ox$)
$D(0; a)$ (vì $AD = a$ và vuông góc với $AB$)
$C(2a; 3a)$ (vì $BC = 3a$ và $BC // AD$, cùng vuông góc với $AB$)
Tọa độ các vectơ liên quan:

$\vec{AB} = (2a; 0)$
$\vec{BD} = (0 - 2a; a - 0) = (-2a; a)$
$\vec{BC} = (0; 3a)$
$\vec{AC} = (2a; 3a)$

Xét từng khẳng định:
a) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = -4a^2$

Tính: $(2a) \cdot (-2a) + 0 \cdot a = -4a^2$.
Kết luận: ĐÚNG.
b) $\vec{BC} \cdot \vec{BD} = 2a^2$

Tính: $0 \cdot (-2a) + (3a) \cdot a = 3a^2$.
Kết luận: SAI (Giá trị đúng là $3a^2$).
c) $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -2a^2$

Tính: $(2a) \cdot (-2a) + (3a) \cdot a = -4a^2 + 3a^2 = -a^2$.
Kết luận: SAI (Giá trị đúng là $-a^2$).
d) Gọi $I, J$ là trung điểm $AB, CD$. Tính $\vec{AC} \cdot \vec{IJ}$

Tọa độ $I$ (trung điểm $AB$): $I(a; 0)$.
Tọa độ $J$ (trung điểm $CD$): $J\left(\frac{0+2a}{2}; \frac{a+3a}{2}\right) = J(a; 2a)$.
Vectơ $\vec{IJ} = (a - a; 2a - 0) = (0; 2a)$.
Tính $\vec{AC} \cdot \vec{IJ} = (2a) \cdot 0 + (3a) \cdot (2a) = 6a^2$.
Kết luận: ĐÚNG.

Tổng hợp kết quả:
Khẳng định
Trạng thái
a) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = -4a^2$
Đúng
b) $\vec{BC} \cdot \vec{BD} = 2a^2$
Sai
c) $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -2a^2$
Sai
d) $\vec{AC} \cdot \vec{IJ} = 6a^2$
Đúng