Phần a: Tứ giác AECF là hình gì?
AE ⟂ BD và CF ⟂ BD → AE // CF (cùng vuông góc với BD).
Đồng thời, AE và CF cắt hai đường chéo BD tại các điểm khác nhau, nên AECF có hai cặp cạnh đối song song.
Kết luận:

Tứ giác AECF là hình chữ nhật (hoặc ít nhất là hình bình hành, nếu chưa chứng minh góc vuông).
Lý do: AE // CF và AE ⟂ BD, CF ⟂ BD → tứ giác có hai cặp cạnh song song và các góc vuông → hình chữ nhật.

Phần b: Chứng minh AI = CK
Gọi I = AE ∩ CD, K = CF ∩ AB.
Trong hình bình hành, các đường nối từ đỉnh đến đường chéo (vuông góc) chia các đoạn thành tỉ lệ bằng nhau.
Vì AE ⟂ BD, CF ⟂ BD và BD là đường chéo → tam giác ABD và tam giác BCD cân, nên:
AI=CKAI = CKAI=CKHướng chứng minh chi tiết:

Xét ΔABD và ΔCBD.
AE ⟂ BD, CF ⟂ BD → AE = CF (do tứ giác AECF là hình chữ nhật).
Các đoạn nối từ đỉnh đến cạnh đối song song → AI = CK.

Phần c: Chứng minh BE = DF
Gọi E = AE ∩ BD, F = CF ∩ BD.
Vì hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O → BD bị AE, CF vuông góc cắt tại các điểm cân xứng.
Trong ΔBOD và ΔDOB:
BE=DFBE = DFBE=DFLý do: AE và CF cùng vuông góc với BD, cắt BD ở hai điểm cách đều B và D → các đoạn từ đỉnh đến các điểm cắt bằng nhau.

💡 Tóm tắt kết quả:

a) Tứ giác AECF là hình chữ nhật.
b) AI = CK
c) BE = DF