📐 Giải bài toán hình học
Bài toán này sử dụng các kiến thức về đường trung bình của tam giác và tính chất của hình bình hành.

Bạn có thể hình dung hình vẽ sau đây trong quá trình làm bài:

a) Chứng minh $D, A, E$ thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm $D, A, E$ thẳng hàng, ta sẽ chứng minh $A$ là điểm chung của hai đoạn thẳng $DA$ và $AE$, và mỗi đoạn thẳng này đều song song với một đoạn thẳng khác, từ đó suy ra $D, A, E$ tạo thành góc bẹt.

Bước 1: Chứng minh tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.
Ta có $M$ là trung điểm của $AB$ (theo giả thiết).
Ta có $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $M$ (theo giả thiết), nên $M$ cũng là trung điểm của $CE$.
Xét tứ giác $ABCE$ có hai đường chéo $AB$ và $CE$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường.
$\Rightarrow$ $ABCE$ là hình bình hành.
Bước 2: Chứng minh $AE$ song song với $BC$ và $AE = BC$.
Vì $ABCE$ là hình bình hành (chứng minh trên).
$\Rightarrow$ $AE // BC$ và $AE = BC$ (Tính chất hình bình hành). (1)
Bước 3: Chứng minh tứ giác $ADCB$ là hình bình hành.
Ta có $N$ là trung điểm của $AC$ (theo giả thiết).
Ta có $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $N$ (theo giả thiết), nên $N$ cũng là trung điểm của $BD$.
Xét tứ giác $ADCB$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường.
$\Rightarrow$ $ADCB$ là hình bình hành.
Bước 4: Chứng minh $DA$ song song với $BC$.
Vì $ADCB$ là hình bình hành (chứng minh trên).
$\Rightarrow$ $DA // BC$ (Tính chất hình bình hành). (2)
Bước 5: Kết luận $D, A, E$ thẳng hàng.
Từ (1), ta có $AE // BC$.
Từ (2), ta có $DA // BC$.
Qua điểm $A$, ta có hai đường thẳng $DA$ và $AE$ cùng song song với đường thẳng $BC$.
Theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
$\Rightarrow$ Ba điểm $D, A, E$ phải nằm trên cùng một đường thẳng.
Vậy, $D, A, E$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$
Để chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$, ta cần chứng minh hai điều kiện:

$D, A, E$ thẳng hàng (Đã chứng minh ở câu a).
$DA = AE$.
Bước 1: Chứng minh $DA = BC$.
Vì $ADCB$ là hình bình hành (chứng minh ở câu a).
$\Rightarrow$ $DA = BC$ (Cạnh đối của hình bình hành). (3)
Bước 2: Chứng minh $AE = BC$.
Vì $ABCE$ là hình bình hành (chứng minh ở câu a).
$\Rightarrow$ $AE = BC$ (Cạnh đối của hình bình hành). (4)
Bước 3: Kết luận $A$ là trung điểm.
Từ (3) và (4), suy ra $DA = AE$ (vì cùng bằng $BC$).
Vì $D, A, E$ thẳng hàng và $DA = AE$.
Vậy, $A$ là trung điểm của $DE$.