Giải quyết
Ta đặt:

$n+1 = x^2$
$2n+1 = y^2$
$5n+1 = z^2$
Với $x, y, z$ là các số nguyên dương.

Vì $n$ là số nguyên dương, nên $n \ge 1$, suy ra $x^2 = n+1 \ge 2$, $y^2 = 2n+1 \ge 3$, $z^2 = 5n+1 \ge 6$.

Do đó, $x, y, z \ge 2$.

Từ $n+1 = x^2$, ta có $n = x^2 - 1$.

Thay $n$ vào hai phương trình còn lại:

$2(x^2 - 1) + 1 = y^2 \implies 2x^2 - 2 + 1 = y^2 \implies 2x^2 - 1 = y^2$
$5(x^2 - 1) + 1 = z^2 \implies 5x^2 - 5 + 1 = z^2 \implies 5x^2 - 4 = z^2$

Bước 1: Xét phương trình $2x^2 - 1 = y^2$
Phương trình $2x^2 - 1 = y^2$ là một dạng của phương trình Pell mở rộng (Generalized Pell's Equation).

Ta có $y^2 - 2x^2 = -1$.

Các nghiệm nguyên dương $(y, x)$ nhỏ nhất của phương trình $y^2 - 2x^2 = -1$ là $(1, 1)$, $(7, 5)$, $(41, 29)$, ...

Do $x \ge 2$, ta chỉ xét các nghiệm $x \ge 5$.

Các giá trị $x$ có thể là: $5, 29, 169, 985, \dots$

Bước 2: Thay các giá trị $x$ vào phương trình $5x^2 - 4 = z^2$
Ta tìm $n$ nhỏ nhất, nên ta sẽ thử với các giá trị $x$ nhỏ nhất:

Trường hợp 1: $x = 5$

$5(5^2) - 4 = z^2$
$5(25) - 4 = z^2$
$125 - 4 = z^2$
$121 = z^2$
$z = 11$
(thỏa mãn $z$ là số nguyên dương)

Với $x=5$, ta tính được $n$:

$n = x^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$
Trường hợp 2: $x = 29$

$5(29^2) - 4 = z^2$
$5(841) - 4 = z^2$
$4205 - 4 = z^2$
$4201 = z^2$
 

Vì $64^2 = 4096$ và $65^2 = 4225$, nên $z^2 = 4201$ không phải là số chính phương.
Trường hợp 3: $x = 169$

$5(25) - 4 = z^2$0
$5(25) - 4 = z^2$1
$5(25) - 4 = z^2$2
$5(25) - 4 = z^2$3
 

$377^2 = 142129$ và $378^2 = 142884$. Số này không phải là số chính phương.

Bước 3: Kết luận
Vì $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất, và giá trị $x=5$ (tương ứng với $n=24$) là giá trị nhỏ nhất trong các nghiệm của $y^2 - 2x^2 = -1$ thỏa mãn $x \ge 2$ và làm cho $5x^2-4$ là số chính phương, nên $n=24$ là số cần tìm.

 Kiểm tra
Với $n=24$:

$n+1 = 24+1 = 25 = 5^2$ (Là số chính phương)
$2n+1 = 2(24)+1 = 48+1 = 49 = 7^2$ (Là số chính phương)
$5n+1 = 5(24)+1 = 120+1 = 121 = 11^2$ (Là số chính phương)
Số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là $\mathbf{24}$.