Chào bạn, đây là cách tìm tham số $m$ để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện đề bài.

Phương trình đã cho là:

$x^2 - 2(m+2)x + m^2 - 4 = 0$
Ta có các hệ số: $a=1$, $b=-2(m+2)$, $c=m^2-4$.

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ khi và chỉ khi $\Delta' > 0$ ($\Delta'$ là biệt thức rút gọn).

$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$
$\Delta' = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4$
$\Delta' = 4m + 8$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta' > 0$:

$4m + 8 > 0$
$4m > -8$
$\mathbf{m > -2} \quad (*)$

2. Áp dụng Hệ thức Vi-ét
Với điều kiện $(*)$, theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m+2) \\ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - 4 \end{cases}$

3. Giải điều kiện $x_1/x_2 - x_2/x_1 = 8$
Điều kiện đề bài là:

$\frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1} = 8$
Để biểu thức này có nghĩa, ta cần $x_1 \neq 0$ và $x_2 \neq 0$, tức là $x_1 x_2 \neq 0$:

$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$0
Kết hợp với điều kiện $(*)$, ta cần $\mathbf{m > -2}$ và $\mathbf{m \neq 2}$.

Quy đồng vế trái của điều kiện đã cho:

$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$1
$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$2
Tính $(x_1 - x_2)$
Ta có: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$

Thay các biểu thức Vi-ét vào:

$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$3
$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$4
$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$5
$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$6
$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$7
Vì $m > -2$ nên $m+2 > 0$, do đó $16(m+2) > 0$ (luôn đúng với điều kiện).

$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$8
Thay vào biểu thức (A)
Trường hợp 1: $x_1 - x_2 = 4\sqrt{m+2}$

$\Delta' = (-(m+2))^2 - 1 \cdot (m^2 - 4)$9
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$0
 

Do $m \neq -2$, ta rút gọn $(m+2)$:

$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$1
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$2
Để phương trình $(B)$ có nghiệm, ta cần:

$m-2 \ge 0 \Rightarrow m \ge 2$.
Bình phương hai vế:

$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$3
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$4
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$5
Giải phương trình bậc hai $m^2 - 5m + 2 = 0$:

$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$6
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$7
Kiểm tra điều kiện $m \ge 2$:

$m_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 + 4,12}{2} = 4,56$ (Thỏa mãn $m_1 \ge 2$ và $m_1 \neq 2$).
$m_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 - 4,12}{2} = 0,44$ (Không thỏa mãn $m_2 \ge 2$).
Trường hợp 2: $x_1 - x_2 = -4\sqrt{m+2}$

$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$8
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$9
$\Delta' = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4$0
$\Delta' = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4$1
$\Delta' = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4$2
Để phương trình $(C)$ có nghiệm, ta cần:

$2-m \ge 0 \Rightarrow m \le 2$.
Bình phương hai vế:

$\Delta' = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4$3
$\Delta' = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4$4
$\Delta' = (m+2)^2 - (m^2 - 4)$5
Ta lại có hai nghiệm $m = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Kiểm tra điều kiện $m \le 2$ (kết hợp với điều kiện ban đầu $m > -2$ và $m \neq 2$):

$m_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx 4,56$ (Không thỏa mãn $m_1 \le 2$).
$m_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0,44$ (Thỏa mãn $-2 < m_2 < 2$).

4. Kết luận
Các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

$\Delta' = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4$6

$\displaystyle \text{ } x^2 - 2(m+2)x + m^2 - 4 = 0 \quad (1)$

$\displaystyle \Delta' = (m+2)^2 - (m^2-4) = m^2 + 4m + 4 - m^2 + 4 = 4m + 8$
$\displaystyle \Delta' > 0 \Leftrightarrow 4m + 8 > 0 \Leftrightarrow m > -2$

$\displaystyle \text{Theo hệ thức Vi-ét, ta có:}$
$\displaystyle \begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m+2) \\ x_1x_2 = m^2 - 4 \end{cases}$
$\displaystyle \text{Điều kiện để biểu thức xác định là } x_1x_2 \neq 0 \Leftrightarrow m^2 - 4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 2.$
$\displaystyle \text{Kết hợp } m > -2 \Rightarrow m \neq 2.$

$\displaystyle \text{Theo đề bài: } \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1} = 8$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1x_2} = 8 \Leftrightarrow \frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2} = 8$
$\displaystyle \Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2) = 8x_1x_2$

$\displaystyle (x_1-x_2)^2(x_1+x_2)^2 = 64(x_1x_2)^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow [(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2](x_1+x_2)^2 = 64(x_1x_2)^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow [4(m+2)^2 - 4(m^2-4)] \cdot 4(m+2)^2 = 64(m^2-4)^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow 4(4m+8) \cdot 4(m+2)^2 = 64[(m-2)(m+2)]^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow 64(m+2)^3 = 64(m-2)^2(m+2)^2$

$\displaystyle \text{Do } m \neq -2 \text{ nên } (m+2)^2 > 0 \text{, chia cả hai vế cho } 64(m+2)^2:$
$\displaystyle m+2 = (m-2)^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow m+2 = m^2 - 4m + 4$
$\displaystyle \Leftrightarrow m^2 - 5m + 2 = 0$

$\displaystyle \Delta_m = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 17$
$\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{matrix} m = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx 4,56 \quad (\text{thỏa mãn } m > -2, m \neq 2) \\ m = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0,44 \quad (\text{thỏa mãn } m > -2, m \neq 2) \end{matrix} \right.$

$\displaystyle \text{Vậy giá trị cần tìm là } m = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}.$