Chào bạn, đây là cách giải bài toán hình học này.

1. Chứng minh $\triangle ADM = \triangle AEN$
Chúng ta sẽ sử dụng trường hợp Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) để chứng minh hai tam giác này bằng nhau.

$\angle D = \angle E$ (Giả thiết): Vì $\triangle ADE$ có hai góc đáy bằng nhau, nên $\triangle ADE$ là tam giác cân tại $A$.
Cạnh $AD = AE$: Vì $\triangle ADE$ cân tại $A$.
$\angle ADM = \angle AEN$:

$DM$ là tia phân giác của $\angle D \Rightarrow \angle ADM = \frac{1}{2}\angle D$.
$EN$ là tia phân giác của $\angle E \Rightarrow \angle AEN = \frac{1}{2}\angle E$.
Vì $\angle D = \angle E$, suy ra $\frac{1}{2}\angle D = \frac{1}{2}\angle E$.
Do đó, $\angle ADM = \angle AEN$.
$\angle DAE$ (hay $\angle A$) là góc chung của hai tam giác $\triangle ADM$ và $\triangle AEN$.

Xét $\triangle ADM$ và $\triangle AEN$ có:

$\angle DAM = \angle EAN$ ($\angle A$ chung)
$AD = AE$ (Chứng minh trên, do $\triangle ADE$ cân tại $A$)
$\angle ADM = \angle AEN$ (Chứng minh trên)
Vậy $\triangle ADM = \triangle AEN$ (theo trường hợp g.c.g).

2. Chứng minh $DN = EM$
Vì $\triangle ADM = \triangle AEN$ (chứng minh ở mục 1), suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:

$AM = AN$
$DM = EN$
Mặt khác, ta có:

$DN = AD - AN$
$EM = AE - AM$
Mà $AD = AE$ và $AN = AM$ (chứng minh trên).

Thay vào, ta được: $DN = AD - AN = AE - AM = EM$.

$\Rightarrow DN = EM$

3. Chứng minh $MN // DE$
Từ kết quả $AM = AN$ ở mục 2:

$\triangle AMN$ là tam giác cân tại $A$.
Xét $\triangle AMN$ cân tại $A$, ta có góc đáy:

$\angle AMN = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$
Xét $\triangle ADE$ cân tại $A$ (do $\angle D = \angle E$), ta có góc đáy:

$\angle ADE = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$
Từ hai điều trên, suy ra:

$\angle AMN = \angle ADE$
Hai góc $\angle AMN$ và $\angle ADE$ ở vị trí đồng vị (hoặc cũng có thể coi là góc tương ứng của tam giác nhỏ $AMN$ và tam giác lớn $ADE$).

Vì hai góc đồng vị bằng nhau, nên:

đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học về tam giác ADE và các đường phân giác.

Ta có △ADE với ∠D=∠E.

1. Xét các góc:

   • DM là tia phân giác của ∠D⟹∠ADE=2⋅∠ADM hay ∠ADM=21​∠D.

   • EN là tia phân giác của ∠E⟹∠AED=2⋅∠AEN hay ∠AEN=21​∠E.

   • Vì ∠D=∠E (giả thiết), suy ra:

     ∠ADM=∠AEN

2. Xét △ADM và △AEN:

   • ∠A là góc chung.

   • AD=AE: Vì △ADE có ∠D=∠E, nên nó là tam giác cân tại A. Suy ra AD=AE.

   • ∠ADM=∠AEN (Chứng minh trên).

Vậy, △ADM=△AEN theo trường hợp Góc - Cạnh - Góc (g.c.g).

1. Từ △ADM=△AEN:

   • Do hai tam giác bằng nhau (chứng minh ở phần 1), ta suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:

     AM=AN

     (1)

     DM=EN

     (2)

2. Sử dụng tính chất AD=AE:

   • Ta có D,N nằm trên AD và E,M nằm trên AE.

   • AD=AN+ND

   • AE=AM+ME

3. Thay thế và kết luận:

   • Vì AD=AE và AN=AM (từ (1)).

   • Lấy vế trừ vế:

     AD−AN=AE−AM
     DN=EM

Để chứng minh MN//DE, ta sử dụng định lý Thales đảo.

1. Xét △ADE:

   • Ta có AM=AN (chứng minh ở phần 2, ý (1)).

2. Áp dụng tỉ lệ:

   • Vì AM=AN, chia cả hai vế cho AE và AD:

     AEAM​=ADAN​

   • (Vì AD=AE nên AM/AE=AN/AD).

3. Kết luận:

   • Xét △ADE, ta thấy M thuộc AE, N thuộc AD và thỏa mãn tỉ lệ:

     AEAM​=ADAN​

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra: