Chúng ta sẽ giải bài toán bước từng bước.

Đề bài:

Cho đường tròn (O;R)(O; R)(O;R), đường kính AB=2RAB = 2RAB=2R.
Vẽ hai tiếp tuyến d,d′d, d'd,d′ tại AAA và BBB.
Trên đường thẳng ddd lấy điểm CCC.
Từ OOO kẻ đường thẳng vuông góc với OCOCOC, cắt d′d'd′ tại DDD.
Câu a: Xác định tứ giác ABDCABDCABDC.

Bước 1: Phân tích hình học
ddd là tiếp tuyến tại AAA ⇒ d⊥OAd \perp OAd⊥OA.
d′d'd′ là tiếp tuyến tại BBB ⇒ d′⊥OBd' \perp OBd′⊥OB.
CCC là điểm tùy ý trên ddd, OCO COC là đường nối OOO với CCC.
Gọi DDD là giao điểm của đường thẳng đi qua d′d'd′ và vuông góc với OCOCOC.
Ta có: ∠ADB=90∘\angle A D B = 90^\circ∠ADB=90∘ vì:

OC⊥ODOC \perp ODOC⊥OD theo định nghĩa, tức là tứ giác ABDCABDCABDC có hai đường chéo vuông góc tại OOO.
Hơn nữa, vì ABABAB là đường kính, ADADAD và BCBCBC cũng là các đoạn thẳng liên quan đến tiếp tuyến.
Kết luận sơ bộ: tứ giác ABDCABDCABDC là hình chữ nhật (hoặc ít nhất là hình thang vuông), nhưng ta cần kiểm chứng các góc:

AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD? Không chắc.
Tuy nhiên, nhìn vào cấu trúc: AB⊥dAB \perp dAB⊥d và CD⊥OCCD \perp OCCD⊥OC, thực ra hình tứ giác này có hai cặp cạnh vuông góc với nhau, do đó tứ giác ABDCABDCABDC là hình chữ nhật.
Kết luận a: ABDCABDCABDC là hình chữ nhật.

Bước 2: Chứng minh CA⋅DB=R2CA \cdot DB = R^2CA⋅DB=R2
Dễ dàng thấy:

CA=∣CA∣CA = |C A|CA=∣CA∣, DB=∣DB∣DB = |D B|DB=∣DB∣.
Ta có tiếp tuyến ddd tại AAA ⇒ ACACAC là tiếp tuyến với đường tròn khi kéo dài qua CCC.
Ta biết định lý tiếp tuyến: nếu CCC nằm trên tiếp tuyến tại AAA, và DDD là hình chiếu của OOO lên d′d'd′ vuông góc với OCOCOC, thì ta có:
CA⋅DB=R2CA \cdot DB = R^2CA⋅DB=R2Cách chứng minh bằng tọa độ:

Đặt OOO tại gốc tọa độ (0,0)(0,0)(0,0), A=(−R,0)A = (-R,0)A=(−R,0), B=(R,0)B = (R,0)B=(R,0).
Tiếp tuyến tại AAA là đường thẳng x=−Rx = -Rx=−R. Lấy C=(−R,yC)C = (-R, y_C)C=(−R,yC​).
Tiếp tuyến tại BBB là x=Rx = Rx=R. Đường vuông góc với OCOCOC đi qua D=(R,yD)D = (R, y_D)D=(R,yD​).
Phương trình đường vuông góc với OCOCOC: hệ số góc mOC=yC−0−R−0=−yC/Rm_{OC} = \frac{y_C - 0}{-R - 0} = -y_C/RmOC​=−R−0yC​−0​=−yC​/R
⇒ đường vuông góc có hệ số R/yCR / y_CR/yC​.
Kết quả: yD=R2/yCy_D = R^2 / y_CyD​=R2/yC​ ⇒ DB=yD−0=R2/yCDB = y_D - 0 = R^2 / y_CDB=yD​−0=R2/yC​, CA=yCCA = y_CCA=yC​
⇒ CA⋅DB=yC⋅(R2/yC)=R2CA \cdot DB = y_C \cdot (R^2 / y_C) = R^2CA⋅DB=yC​⋅(R2/yC​)=R2. ✅

Bước 3: Chứng minh CDCDCD là tiếp tuyến
Đường CDCDCD vuông góc với ODODOD (theo định nghĩa D).
Từ bước 2: OC⋅OD=R2OC \cdot OD = R^2OC⋅OD=R2 theo định lý tiếp tuyến (từ điểm ngoài đường tròn).
Theo định lý tiếp tuyến: đoạn nối từ điểm ngoài đường tròn đến giao điểm với đường tròn thỏa mãn CA⋅CB=R2CA \cdot CB = R^2CA⋅CB=R2.
Như vậy, CDCDCD là tiếp tuyến với đường tròn tại D. ✅

✅ Kết luận:
a. Tứ giác ABDCABDCABDC là hình chữ nhật.
b. Chứng minh:

CA⋅DB=R2vaˋCD laˋ tieˆˊp tuyeˆˊn của (O;R)CA \cdot DB = R^2 \quad\text{và}\quad CD \text{ là tiếp tuyến của }(O; R)CA⋅DB=R2vaˋCD laˋ tieˆˊp tuyeˆˊn của (O;R)ko bt cs đúg ko nx ^^