Dưới đây là cách giải các bài tập dựa trên giả thiết hình chữ nhật ABCD và các dữ kiện đã cho.

---

### **Phần (a): Tính độ dài AC và góc \(\angle BAC\)**

**Dữ kiện:**
- Hình chữ nhật ABCD
- \(AB = 12\,cm\)
- \(BC = 9\,cm\)

**Giải:**

1. **Tính độ dài AC (đường chéo của hình chữ nhật):**
Trong hình chữ nhật, đường chéo \(AC\) là đường chéo của hình chữ nhật, tính bằng Pythagoras:

\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\,cm
\]

2. **Tính góc \(\angle BAC\):**
Góc \(\angle BAC\) là góc tại \(A\) tạo thành bởi các đoạn \(AB\) và \(AC\).

Trong tam giác \(ABC\):

- \(AB = 12\,cm\)
- \(AC = 15\,cm\)
- \(BC = 9\,cm\)

Góc \(\angle BAC\) là góc giữa \(AB\) và \(AC\).

Dùng công thức lượng giác:

\[
\cos \angle BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8
\]

Vậy:

\[
\angle BAC = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ
\]

---

### **Phần (b):**
Bạn nói là "kẻ HI vuông góc với AD tại I" và "AK vuông góc với BI tại K".

Tuy nhiên, chưa rõ vị trí của các điểm I, K, cũng như hình dạng cụ thể của hình.

---

### **Hướng dẫn chung để giải phần (b):**

- **Giả thiết sơ bộ:**
- \(HI \perp AD\) tại \(I\) (điểm \(I\) nằm trên \(AD\))
- \(AK \perp BI\) tại \(K\) (điểm \(K\) nằm trên \(BI\))

- **Các bước chung:**
1. Xác định vị trí chính xác của các điểm \(I\) và \(K\) dựa trên đề bài hoặc hình vẽ (cần hình minh họa rõ hơn).
2. Sử dụng các định lý về vuông góc, tính các đoạn thẳng hoặc góc liên quan.

---

### **Kết luận:**

- **Phần (a):**
\(\boxed{
AC = 15\,cm,\quad \angle BAC \approx 36.87^\circ
}\)

- **Phần (b):**
Cần thêm thông tin hoặc sơ đồ để giải chính xác hơn.

---

Bạn có thể gửi hình vẽ hoặc mô tả rõ hơn phần (b) để tôi giúp bạn tiếp nhé!