Để chứng tỏ Scap S
𝑆
chia hết cho 15, ta cần chứng minh Scap S
𝑆
chia hết cho cả 3 và 5. Ta có thể nhóm các số hạng của Scap S
𝑆
thành nhóm 4 số, mỗi nhóm này chia hết cho 15, và tổng của các nhóm đó cũng chia hết cho 15.  
 
 
Bước 1: Chứng minh S chia hết cho 3
S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁹ + 2²⁰²⁰
S = (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2²⁰¹⁷ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰¹⁹) + 2²⁰²⁰
S = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + ... + 2²⁰¹⁷(1 + 2 + 2²) + 2²⁰²⁰
S = 2(7) + 2⁴(7) + ... + 2²⁰¹⁷(7) + 2²⁰²⁰
S = 7(2 + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁷) + 2²⁰²⁰
Do 220202 to the 2020th power
22020
là số chẵn nên nó chia hết cho 2. 7 là số lẻ.
2+22+23=2(1+2+22)=2(7)=142 plus 2 squared plus 2 cubed equals 2 open paren 1 plus 2 plus 2 squared close paren equals 2 open paren 7 close paren equals 14
2+22+23=2(1+2+22)=2(7)=14
24+25+26=24(1+2+22)=16×7=1122 to the fourth power plus 2 to the fifth power plus 2 to the sixth power equals 2 to the fourth power open paren 1 plus 2 plus 2 squared close paren equals 16 cross 7 equals 112
24+25+26=24(1+2+22)=16×7=112
...
22017+22018+22019=22017(1+2+22)=22017×72 to the 2017th power plus 2 to the 2018th power plus 2 to the 2019th power equals 2 to the 2017th power open paren 1 plus 2 plus 2 squared close paren equals 2 to the 2017th power cross 7
22017+22018+22019=22017(1+2+22)=22017×7
Ta có thể nhóm S như sau:
S=(2+22+23+24)+(25+26+27+28)+...+(22017+22018+22019+22020)cap S equals open paren 2 plus 2 squared plus 2 cubed plus 2 to the fourth power close paren plus open paren 2 to the fifth power plus 2 to the sixth power plus 2 to the seventh power plus 2 to the eighth power close paren plus point point point plus open paren 2 to the 2017th power plus 2 to the 2018th power plus 2 to the 2019th power plus 2 to the 2020th power close paren
𝑆=(2+22+23+24)+(25+26+27+28)+...+(22017+22018+22019+22020)
S=2(1+2+22+23)+25(1+2+22+23)+...+22017(1+2+22+23)cap S equals 2 open paren 1 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed close paren plus 2 to the fifth power open paren 1 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed close paren plus point point point plus 2 to the 2017th power open paren 1 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed close paren
𝑆=2(1+2+22+23)+25(1+2+22+23)+...+22017(1+2+22+23)
1+2+22+23=1+2+4+8=151 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed equals 1 plus 2 plus 4 plus 8 equals 15
1+2+22+23=1+2+4+8=15
S=2(15)+25(15)+...+22017(15)cap S equals 2 open paren 15 close paren plus 2 to the fifth power open paren 15 close paren plus point point point plus 2 to the 2017th power open paren 15 close paren
𝑆=2(15)+25(15)+...+22017(15)
S=15(2+25+...+22017)cap S equals 15 open paren 2 plus 2 to the fifth power plus point point point plus 2 to the 2017th power close paren
𝑆=15(2+25+...+22017)
Vì 15(2+25+...+22017)15 open paren 2 plus 2 to the fifth power plus point point point plus 2 to the 2017th power close paren
15(2+25+...+22017)
có thừa số là 15 nên S chia hết cho 15.
 
Bước 2: Chứng minh S chia hết cho 5
Tương tự, ta có thể nhóm S thành nhóm 4 số:
S=(2+22+23+24)+(25+26+27+28)+...+(22017+22018+22019+22020)cap S equals open paren 2 plus 2 squared plus 2 cubed plus 2 to the fourth power close paren plus open paren 2 to the fifth power plus 2 to the sixth power plus 2 to the seventh power plus 2 to the eighth power close paren plus point point point plus open paren 2 to the 2017th power plus 2 to the 2018th power plus 2 to the 2019th power plus 2 to the 2020th power close paren
𝑆=(2+22+23+24)+(25+26+27+28)+...+(22017+22018+22019+22020)
S=2(1+2+22+23)+25(1+2+22+23)+...+22017(1+2+22+23)cap S equals 2 open paren 1 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed close paren plus 2 to the fifth power open paren 1 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed close paren plus point point point plus 2 to the 2017th power open paren 1 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed close paren
𝑆=2(1+2+22+23)+25(1+2+22+23)+...+22017(1+2+22+23)
1+2+22+23=151 plus 2 plus 2 squared plus 2 cubed equals 15
1+2+22+23=15
S=2(15)+25(15)+...+22017(15)cap S equals 2 open paren 15 close paren plus 2 to the fifth power open paren 15 close paren plus point point point plus 2 to the 2017th power open paren 15 close paren
𝑆=2(15)+25(15)+...+22017(15)

Ta có tổng $S$ là:

$S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2019} + 2^{2020}$
Để chứng minh $S$ chia hết cho $15$, ta cần chứng minh $S$ chia hết cho $\mathbf{3}$ và $\mathbf{5}$ (vì $3$ và $5$ là hai số nguyên tố cùng nhau, và $3 \times 5 = 15$).

 

1. Chứng minh $S$ chia hết cho $3$
 

Ta nhóm tổng $S$ thành các nhóm $2$ số hạng liên tiếp:

$S = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + \dots + (2^{2019} + 2^{2020})$
 

Số số hạng của $S$ là $2020$, là một số chẵn, nên ta có thể chia thành $\frac{2020}{2} = 1010$ nhóm.

Xét một nhóm tổng quát:

$2^k + 2^{k+1} = 2^k (1 + 2) = \mathbf{3} \cdot 2^k$
 

Vì $3 \cdot 2^k$ chia hết cho $3$, nên mỗi nhóm đều chia hết cho $3$.

Do đó, tổng $S$ là tổng của các số chia hết cho $3$, nên $S$ chia hết cho $3$.

 

2. Chứng minh $S$ chia hết cho $5$
 

Ta nhóm tổng $S$ thành các nhóm $\mathbf{4}$ số hạng liên tiếp:

$S = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8) + \dots + (2^{2017} + 2^{2018} + 2^{2019} + 2^{2020})$
 

Số số hạng của $S$ là $2020$. Vì $2020$ chia hết cho $4$ ($2020 = 4 \times 505$), nên ta có thể chia thành $\frac{2020}{4} = 505$ nhóm.

Xét một nhóm tổng quát:

\begin{align*} 2^k + 2^{k+1} + 2^{k+2} + 2^{k+3} &= 2^k (1 + 2 + 2^2 + 2^3) \ &= 2^k (1 + 2 + 4 + 8) \ &= 2^k \cdot \mathbf{15}\end{align*}

Vì $2^k \cdot 15$ chia hết cho $15$, nên mỗi nhóm đều chia hết cho $15$.

Do đó, tổng $S$ là tổng của các số chia hết cho $15$. Nếu một số chia hết cho $15$, thì số đó cũng chia hết cho $\mathbf{5}$.

Vậy, $S$ chia hết cho $5$.

 

3. Kết luận
 

Vì $S$ chia hết cho $3$ và $S$ chia hết cho $5$, mà $3$ và $5$ là hai số nguyên tố cùng nhau, nên $S$ phải chia hết cho tích của chúng: $3 \times 5 = 15$.

Vậy, $S$ chia hết cho $15$. (Điều phải chứng minh) ✅