a) Các số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Số chia hết cho 5 thì chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

Trường hợp 1: Hàng đơn vị là 0
Hàng trăm ≠ 0 → có thể là 1, 3, 5
Hàng chục chọn trong 2 số còn lại.
→ Các số: 150, 350, 510, 530.
Trường hợp 2: Hàng đơn vị là 5
Hàng trăm ≠ 0 → có thể là 1, 3
Hàng chục chọn trong 2 số còn lại (0, 1, 3 trừ đi hàng trăm).
→ Các số: 105, 305, 135.
→ Các số chia hết cho 5 là: 150, 350, 510, 530, 105, 305, 135.

b) Các số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3

Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3.

Tổng các chữ số của 4 chữ số đã cho: 5 + 0 + 1 + 3 = 9 (chia hết cho 3)
→ Khi bỏ đi 1 chữ số, số còn lại chia hết cho 3 nếu chữ số bỏ đi cũng chia hết cho 3.

Chữ số chia hết cho 3 là: 0, 3.

Bỏ 0, còn lại 5,1,3 → số: 513, 531, 153, 135, 315, 351.
Bỏ 3, còn lại 5,0,1 → số: 501, 510, 150.
→ Các số chia hết cho 3 là: 513, 531, 153, 135, 315, 351, 501, 510, 150.

Đáp số:

a) 150, 350, 510, 530, 105, 305, 135.
b) 513, 531, 153, 135, 315, 351, 501, 510, 150.
 
 
 

Từ các chữ số $5; 0; 1; 3$, ta cần viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng $\overline{abc}$, với $a, b, c \in \{5, 0, 1, 3\}$ và $a \neq 0$.

a) Các số đó chia hết cho 5
 

Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 hoặc 5.

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0 ($c = 0$)

Số có dạng $\overline{ab0}$.

Chữ số c: Có 1 cách chọn (là 0).
Chữ số a: Có 3 cách chọn (là 5, 1, 3, vì $a \neq 0$).
Chữ số b: Có 2 cách chọn (là các chữ số còn lại).
Số lượng số: 3×2×1=6 số.

Các số đó là: 510,530,150,130,350,310.

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5 ($c = 5$)

Số có dạng $\overline{ab5}$.

Chữ số c: Có 1 cách chọn (là 5).
Chữ số a: Có 2 cách chọn (là 1, 3, vì $a \neq 0$ và $a \neq 5$).
Chữ số b: Có 2 cách chọn (là 0 và chữ số còn lại).
Số lượng số: 2×2×1=4 số.

Các số đó là: 105,135,305,315.

Tổng cộng: $6 + 4 = 10$ số chia hết cho 5.

b) Các số đó chia hết cho 3
 

Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Tập hợp các chữ số ban đầu là {5,0,1,3}.

Tổng của tất cả các chữ số là 5+0+1+3=9.

Để số $\overline{abc}$ được tạo thành từ 3 chữ số khác nhau trong tập hợp này mà chia hết cho 3, tổng $a+b+c$ phải là một số chia hết cho 3.

Ta xét các bộ ba chữ số $\{a, b, c\}$ có tổng chia hết cho 3:

Tổng $a+b+c = 9$:

Bộ ba $\{5, 1, 3\}$: $5+1+3 = 9$. (Loại chữ số 0)
Tổng $a+b+c = 6$: (Không thể tạo được bộ ba có tổng bằng 6 từ các chữ số đã cho mà không lặp lại).
Tổng $a+b+c = 3$:

Bộ ba $\{3, 0, 0\}$: (Không thỏa mãn, vì các chữ số phải khác nhau).
Bộ ba $\{0, 1, 2\}$: (Không thỏa mãn, vì số 2 không có trong tập).
Vậy, chỉ có bộ ba $\{5, 1, 3\}$ là có tổng chia hết cho 3.

Từ bộ ba $\{5, 1, 3\}$, ta có thể lập được các số có ba chữ số khác nhau:

Chữ số $a$ có 3 cách chọn (5, 1, 3).
Chữ số $b$ có 2 cách chọn.
Chữ số $c$ có 1 cách chọn.
Số lượng số: 3×2×1=6 số.

Các số đó là: 513,531,153,135,351,315.

Tổng cộng: 6 số chia hết cho 3.