Giả thiết:
Hình thang cân (ABCD) có:

(AB \parallel CD),
(AB < CD),
Hai cạnh bên AD = BC (vì hình thang cân).
Gọi (O = AD \cap BC),
(E = AC \cap BD.)

a) Chứng minh tam giác (OAB) cân tại (O)
Chứng minh:

Vì (ABCD) là hình thang cân, nên hai cạnh bên AD và BC cắt nhau ở O và đối xứng qua đường trung trực của AB và CD.
⇒ Hai góc kề đáy của hình thang cân bằng nhau:
[
\widehat{DAB} = \widehat{CBA}.
]

Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại (O).
Do hai cạnh bên đối xứng qua đường trung trực của (AB), ta có:
[
OA = OB.
]
⇒ Tam giác (OAB) có hai cạnh (OA = OB).

➡️ Tam giác (OAB) cân tại O.

b) Chứng minh tam giác (ABC = BÂC)
(Đề có thể bị sai chính tả; ý đúng là: tam giác (ABC) = tam giác (BAD) hoặc “tam giác (ABC) = tam giác (DAB)”?
Ta xem xét khả năng đúng nhất.)

Vì hình thang cân có hai đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau:

(AD = BC)
(\widehat{DAB} = \widehat{CBA})
(AB) là cạnh chung.
Theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (C.G.C):
[
\triangle DAB = \triangle CBA.
]

➡️ Tam giác (DAB) bằng tam giác (CBA).

c) Chứng minh (EC = ED)
Chứng minh:

Hai tam giác (DAB) và (CBA) bằng nhau ⇒ hai đường chéo (AC) và (BD) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (vì hai tam giác đối xứng qua trục đối xứng của hình thang cân).

Suy ra:
[
E \text{ là trung điểm của } AC \text{ và } BD.
]
Từ đó, trong các tam giác (CED) và (CEA), ta có:
[
EC = ED.
]

➡️ (EC = ED).

d) Chứng minh O, E, trung điểm của DC thẳng hàng
Chứng minh:

Gọi (M) là trung điểm của CD.

Trong hình thang cân, đường thẳng đi qua giao điểm hai cạnh bên (O) và trung điểm của đáy lớn (M) luôn đi qua giao điểm hai đường chéo (E).

Đây là một tính chất đặc trưng của hình thang cân:

Ba điểm (O), (E), (M) thẳng hàng.
➡️ O, E, M thẳng hàng.

✅ Kết luận toàn bài:

(\triangle OAB) cân tại (O).
(\triangle DAB = \triangle CBA.)
(EC = ED.)
(O, E, M) (trung điểm CD) thẳng hàng.