Ta cùng giải chi tiết:

Đề bài: Tìm số tự nhiên nnn biết 4n−14n - 14n−1 là ước của 6n+96n + 96n+9.
Điều kiện: 4n−1>0⇒n≥14n - 1 > 0 \Rightarrow n \ge 14n−1>0⇒n≥1.

Bước 1. Biểu diễn điều kiện chia hết

6n+9≡0(mod4n−1)6n + 9 \equiv 0 \pmod{4n - 1}6n+9≡0(mod4n−1)Tức là tồn tại số nguyên kkk sao cho:

6n+9=k(4n−1)6n + 9 = k(4n - 1)6n+9=k(4n−1)
Bước 2. Chuyển vế

6n+9=4kn−k6n + 9 = 4kn - k6n+9=4kn−k 6n−4kn=−k−96n - 4kn = -k - 96n−4kn=−k−9 n(6−4k)=−(k+9)n(6 - 4k) = -(k + 9)n(6−4k)=−(k+9)
Bước 3. Xét giá trị nguyên của kkk

Nếu 6−4k=0⇒k=326 - 4k = 0 \Rightarrow k = \tfrac{3}{2}6−4k=0⇒k=23​ (không nguyên) → loại.
n=−(k+9)6−4kn = \frac{-(k+9)}{6 - 4k}n=6−4k−(k+9)​
Bước 4. Thử giá trị kkk nguyên nhỏ

Với k=1k=1k=1:
n=−(1+9)6−4=−102=−5(loại vıˋ n≱0)n = \frac{-(1+9)}{6 - 4} = \frac{-10}{2} = -5 \quad (\text{loại vì } n \not\ge 0)n=6−4−(1+9)​=2−10​=−5(loại vıˋ n≥0)Với k=2k=2k=2:
n=−(2+9)6−8=−11−2=112∉Nn = \frac{-(2+9)}{6 - 8} = \frac{-11}{-2} = \frac{11}{2} \notin \mathbb{N}n=6−8−(2+9)​=−2−11​=211​∈/NVới k=3k=3k=3:
n=−(3+9)6−12=−12−6=2n = \frac{-(3+9)}{6 - 12} = \frac{-12}{-6} = 2n=6−12−(3+9)​=−6−12​=2👉 n=2n=2n=2 là nghiệm.

Với k=4k=4k=4:
n=−(4+9)6−16=−13−10=1,3∉Nn = \frac{-(4+9)}{6 - 16} = \frac{-13}{-10} = 1,3 \notin \mathbb{N}n=6−16−(4+9)​=−10−13​=1,3∈/NVới k=5k=5k=5:
n=−(5+9)6−20=−14−14=1n = \frac{-(5+9)}{6 - 20} = \frac{-14}{-14} = 1n=6−20−(5+9)​=−14−14​=1👉 n=1n=1n=1 là nghiệm.

Bước 5. Kết quả
Các số tự nhiên thỏa mãn:

n=1 hoặc n=2\boxed{n = 1 \text{ hoặc } n = 2}n=1 hoặc n=2​

Ta cùng giải chi tiết:

Đề bài: Tìm số tự nhiên nnn biết 4n−14n - 14n−1 là ước của 6n+96n + 96n+9.
Điều kiện: 4n−1>0⇒n≥14n - 1 > 0 \Rightarrow n \ge 14n−1>0⇒n≥1.

Bước 1. Biểu diễn điều kiện chia hết

6n+9≡0(mod4n−1)6n + 9 \equiv 0 \pmod{4n - 1}6n+9≡0(mod4n−1)Tức là tồn tại số nguyên kkk sao cho:

6n+9=k(4n−1)6n + 9 = k(4n - 1)6n+9=k(4n−1)
Bước 2. Chuyển vế

6n+9=4kn−k6n + 9 = 4kn - k6n+9=4kn−k 6n−4kn=−k−96n - 4kn = -k - 96n−4kn=−k−9 n(6−4k)=−(k+9)n(6 - 4k) = -(k + 9)n(6−4k)=−(k+9)
Bước 3. Xét giá trị nguyên của kkk

Nếu 6−4k=0⇒k=326 - 4k = 0 \Rightarrow k = \tfrac{3}{2}6−4k=0⇒k=23​ (không nguyên) → loại.
n=−(k+9)6−4kn = \frac{-(k+9)}{6 - 4k}n=6−4k−(k+9)​
Bước 4. Thử giá trị kkk nguyên nhỏ

Với k=1k=1k=1:
n=−(1+9)6−4=−102=−5(loại vıˋ n≱0)n = \frac{-(1+9)}{6 - 4} = \frac{-10}{2} = -5 \quad (\text{loại vì } n \not\ge 0)n=6−4−(1+9)​=2−10​=−5(loại vıˋ n≥0)Với k=2k=2k=2:
n=−(2+9)6−8=−11−2=112∉Nn = \frac{-(2+9)}{6 - 8} = \frac{-11}{-2} = \frac{11}{2} \notin \mathbb{N}n=6−8−(2+9)​=−2−11​=211​∈/NVới k=3k=3k=3:
n=−(3+9)6−12=−12−6=2n = \frac{-(3+9)}{6 - 12} = \frac{-12}{-6} = 2n=6−12−(3+9)​=−6−12​=2👉 n=2n=2n=2 là nghiệm.

Với k=4k=4k=4:
n=−(4+9)6−16=−13−10=1,3∉Nn = \frac{-(4+9)}{6 - 16} = \frac{-13}{-10} = 1,3 \notin \mathbb{N}n=6−16−(4+9)​=−10−13​=1,3∈/NVới k=5k=5k=5:
n=−(5+9)6−20=−14−14=1n = \frac{-(5+9)}{6 - 20} = \frac{-14}{-14} = 1n=6−20−(5+9)​=−14−14​=1👉 n=1n=1n=1 là nghiệm.

Bước 5. Kết quả
Các số tự nhiên thỏa mãn:

n=1 hoặc n=2\boxed{n = 1 \text{ hoặc } n = 2}n=1 hoặc n=2​