Gọi: 𝐴 A: tập hợp học sinh giải được bài toán thứ nhất → ∣ 𝐴 ∣ = 20 ∣A∣=20 𝐵 B: tập hợp học sinh giải được bài toán thứ hai → ∣ 𝐵 ∣ = 14 ∣B∣=14 𝐶 C: tập hợp học sinh giải được bài toán thứ ba → ∣ 𝐶 ∣ = 10 ∣C∣=10 Ta còn biết: ∣ 𝐵 ∩ 𝐶 ∣ = 5 ∣B∩C∣=5 ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∣ = 2 ∣A∩B∣=2 ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∣ = 1 ∣A∩B∩C∣=1 Mỗi học sinh làm được ít nhất một bài, tức là không có học sinh nào không nằm trong 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 A∪B∪C Cần tìm: Tổng số học sinh trong lớp = ∣ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∣ ∣A∪B∪C∣ Áp dụng công thức bao trùm: ∣ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∣ = ∣ 𝐴 ∣ + ∣ 𝐵 ∣ + ∣ 𝐶 ∣ − ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∩ 𝐶 ∣ − ∣ 𝐵 ∩ 𝐶 ∣ + ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∣ ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣ Ta có đủ các giá trị ngoại trừ ∣ 𝐴 ∩ 𝐶 ∣ ∣A∩C∣. Gọi nó là 𝑥 x. Khi đó: ∣ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∣ = 20 + 14 + 10 − 2 − 𝑥 − 5 + 1 = 38 − 𝑥 ∣A∪B∪C∣=20+14+10−2−x−5+1=38−x Mà tổng số học sinh phải là một số nguyên dương, nên ta cần xác định giá trị của 𝑥 = ∣ 𝐴 ∩ 𝐶 ∣ x=∣A∩C∣ Cách khác: Dựng sơ đồ Venn hoặc phân loại học sinh Ta sẽ đặt: 𝑎 a: số học sinh chỉ làm bài 1 𝑏 b: chỉ làm bài 2 𝑐 c: chỉ làm bài 3 𝑑 d: làm bài 1 và 2 (không làm bài 3) 𝑒 e: làm bài 1 và 3 (không làm bài 2) 𝑓 f: làm bài 2 và 3 (không làm bài 1) 𝑔 g: làm cả 3 bài Ta biết: 𝑑 = ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∣ − 𝑔 = 2 − 1 = 1 d=∣A∩B∣−g=2−1=1 𝑓 = ∣ 𝐵 ∩ 𝐶 ∣ − 𝑔 = 5 − 1 = 4 f=∣B∩C∣−g=5−1=4 𝑔 = 1 g=1 (đã cho) Tiếp theo, sử dụng tổng số học sinh giải mỗi bài: Bài 1: 𝑎 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑔 = 20 ⇒ 𝑎 + 𝑒 = 20 − 𝑑 − 𝑔 = 20 − 1 − 1 = 18 a+d+e+g=20⇒a+e=20−d−g=20−1−1=18 Bài 2: 𝑏 + 𝑑 + 𝑓 + 𝑔 = 14 ⇒ 𝑏 = 14 − 𝑑 − 𝑓 − 𝑔 = 14 − 1 − 4 − 1 = 8 b+d+f+g=14⇒b=14−d−f−g=14−1−4−1=8 Bài 3: 𝑐 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 = 10 ⇒ 𝑐 + 𝑒 = 10 − 𝑓 − 𝑔 = 10 − 4 − 1 = 5 c+e+f+g=10⇒c+e=10−f−g=10−4−1=5 Mà ta đã biết: 𝑎 + 𝑒 = 18 a+e=18 𝑐 + 𝑒 = 5 c+e=5 → Trừ 2 phương trình: ( 𝑎 + 𝑒 ) − ( 𝑐 + 𝑒 ) = 18 − 5 ⇒ 𝑎 − 𝑐 = 13 ⇒ 𝑎 = 𝑐 + 13 (a+e)−(c+e)=18−5⇒a−c=13⇒a=c+13 Ta thay vào tổng số học sinh: Tổng số học sinh = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 a+b+c+d+e+f+g Thay tất cả giá trị: 𝑏 = 8 b=8 𝑑 = 1 d=1 𝑓 = 4 f=4 𝑔 = 1 g=1 Giữ nguyên 𝑎 , 𝑐 , 𝑒 a,c,e, nhưng từ trên: 𝑎 = 𝑐 + 13 a=c+13 𝑒 = 18 − 𝑎 = 18 − ( 𝑐 + 13 ) = 5 − 𝑐 e=18−a=18−(c+13)=5−c Thế vào công thức tổng: 𝑇 ổ 𝑛 𝑔 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 = ( 𝑐 + 13 ) + 8 + 𝑐 + 1 + ( 5 − 𝑐 ) + 4 + 1 Tổng=a+b+c+d+e+f+g=(c+13)+8+c+1+(5−c)+4+1 Tính: = 𝑐 + 13 + 8 + 𝑐 + 1 + 5 − 𝑐 + 4 + 1 = ( 𝑐 − 𝑐 + 𝑐 ) + ( 13 + 8 + 1 + 5 + 4 + 1 ) = 𝑐 + 32 =c+13+8+c+1+5−c+4+1=(c−c+c)+(13+8+1+5+4+1)=c+32 → Tổng học sinh = 𝑐 + 32 c+32 Nhưng từ 𝑐 + 𝑒 = 5 c+e=5, và 𝑒 = 5 − 𝑐 e=5−c, nên 𝑐 c chỉ có thể từ 0 đến 5 Thử từng giá trị: Nếu 𝑐 = 1 c=1: → 𝑎 = 𝑐 + 13 = 14 a=c+13=14 → 𝑒 = 5 − 𝑐 = 4 e=5−c=4 Kiểm tra: 𝑎 + 𝑒 = 14 + 4 = 18 a+e=14+4=18 ✅ 𝑐 + 𝑒 = 1 + 4 = 5 c+e=1+4=5 ✅ Tính tổng: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 = 14 + 8 + 1 + 1 + 4 + 4 + 1 = 33 a+b+c+d+e+f+g=14+8+1+1+4+4+1=33 ✅ Thoả mãn hết mọi điều kiện. ✅ Kết luận: Lớp học có tất cả 33 học sinh. ✅