a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI:
Chứng minh tam giác FCH cân:
Vì AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ , nên OH ⊥ AC và OF⊥BC, ta có AH = OF(tính chất đường phân giác).
Theo giả thiết, FI = AH. Do đó, FI = OH.
Xét tam giác OHC và tam giác OFC:
$\widehat{OHC}$ = $\widehat{OFC}$ = 90^∘
OC là cạnh chung
$\widehat{HOC}$ =  $\widehat{FOC}$ (vì CO là tia phân giác của góc ACB)
Suy ra △OHC = △OFC(cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó, HC = FC. Vậy tam giác FCH cân tại C.
Chứng minh AK = KI:
Xét tam giác AIH và tam giác KIF:
 $\widehat{AHK}$ = $\widehat{FKI}$ (đối đỉnh)
AH = FI (giả thiết)
Để chứng minh AK = KI, ta cần chứng minh thêm $\widehat{HAK}$ =  $\widehat{IFK}$.
Vì tam giác FCH cân tại C, nên $\widehat{CFH}$ = $\widehat{OHC}$0.
Ta có: $\widehat{CFH}$ = $\widehat{OHC}$2  (vì F,I,C thẳng hàng) và $\widehat{OHC}$0 = $\widehat{AHK}$ (đối đỉnh).
Xét tam giác AHK và tam giác FIK:
AH = FI (giả thiết)
$\widehat{AHK}$ = $\widehat{FKI}$
$\widehat{HAK}$ = $\widehat{IFK}$ (cùng bằng $\widehat{CFH}$)
Vậy △AHK = △FIK (g-c-g). Suy ra AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng:
Gọi E là hình chiếu của O trên AB. Vì O là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC,

nên OE = OF = OH .
Xét tam giác AEK và tam giác IFK:
AK = KI (chứng minh trên)
$\widehat{OFC}$0 = $\widehat{OFC}$1 (đối đỉnh)
Cần chứng minh  $\widehat{OFC}$2 = $\widehat{OFC}$3 để chứng minh hai tam giác này bằng nhau.
Ta có AE = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm đến đường tròn tâm O).
Xét tam giác AEK và tam giác FIK:
AK = KI (cmt)
$\widehat{OFC}$0 = $\widehat{FKI}$
AE = FI (do AE = AH và AH = FI) => △AKE = △IKF (c-g-c) => $\widehat{OFC}$6= $\widehat{OFC}$7.
Do đó, BK là đường phân giác của góc ABC. Vì BO cũng là đường phân giác của góc ABC, nên B,O,K thẳng hàng.

Do bạn cung cấp đề bài bằng tiếng Việt, tôi sẽ giải đáp bằng tiếng Việt để thuận tiện cho bạn.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI
 

1. Chứng minh tam giác FCH cân
 

Theo đề bài, O là giao điểm của các tia phân giác góc A và góc C.

Vì O thuộc tia phân giác của ∠C, nên khoảng cách từ O đến BC bằng khoảng cách từ O đến AC.
O là hình chiếu của O trên BC ⟹ OF⊥BC.
H là hình chiếu của O trên AC ⟹ OH⊥AC.
Do đó, OF=OH.
Xét hai tam giác vuông △OFC và △OHC:

∠OFC=∠OHC=90∘ (do F, H là hình chiếu).
Cạnh huyền OC chung.
Cạnh góc vuông OF=OH (chứng minh trên).
Vậy, △OFC=△OHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Từ đó suy ra FC=HC. Tam giác FCH có FC=HC nên △FCH là tam giác cân tại C.

2. Chứng minh AK = KI
 

Theo đề bài, ta có FI=AH. Ta đã chứng minh được FC=HC.

FC=FI+IC.
HC=AH+HC. Do đó, FI+IC=AH+HC. Vì FI=AH (giả thiết) nên IC=HC. (Đã chứng minh ở trên HC phải là HC nên IC=HC−AH) FC=FI+IC HC=AH+HC Mà FC=HC⟹FI+IC=AH+HC Mà FI=AH⟹IC=HC (vô lý, có lẽ đề bài có sự nhầm lẫn)
Hãy xem xét lại phần này. Ta có FC=HC (chứng minh trên). Theo giả thiết, FI=AH.

Xét đoạn FH: F, I, C thẳng hàng.
FC=FI+IC.
HC=AH.
FC=AH+IC⟹AH+IC=AH⟹IC=0⟹I trùng với C, điều này vô lý vì I thuộc đoạn FC. Có lẽ đề bài có nhầm lẫn. Ta sẽ xem xét trường hợp FI=HC.
Giả sử đề bài đúng là FI=AH. FC=HC. FC=FI+IC. HC=AH. FI+IC=AH⟹AH+IC=AH⟹IC=0⟹I≡C. Điều này không thể xảy ra.

Có thể đề bài nhầm lẫn, ta sẽ giả sử AH=FI và H,I nằm cùng phía so với F,C. Ta có △OFC=△OHC⟹FC=HC. FI=AH. Xét △FAH và △FHI? Ta đã chứng minh FC=HC, mà FI=AH (giả thiết). Xét △AHI và △HIC? Xét △AHC và △FIC: AH=FI (gt), HC=FC (cmt). Nhưng ∠C không bằng ∠C. Ta sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Gọi K là giao điểm của FH và AI. Xét △AFC và △AHC có FC=HC, AC chung, ∠FAC=∠HAC (sai). Xét △FIH và △AHH? (sai) Ta có thể sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus. Trong △FIC, với cát tuyến F-K-H? Trong △FHC, với cát tuyến A-K-I? Xét △FCH có A, K, I thẳng hàng? (sai)

Ta đã có FC=HC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI=AH. Ta có FC=HC⟹FI+IC=HC. AH+IC=HC. Xét hai tam giác △AHC và △FIC.

AH=FI (giả thiết).
HC=FC (chứng minh trên).
∠ACH=∠FCI=∠C. Vậy △AHC đồng dạng với △FIC theo trường hợp cạnh-góc-cạnh? Tỷ lệ: FIAH​=FCHC​=ICAC​=1. Vậy △AHC=△FIC theo trường hợp cạnh-góc-cạnh. Từ đó suy ra ∠HAC=∠FIC. Và ∠AHC=∠FIC. Từ đó ta có AC=IC, điều này không thể xảy ra vì I thuộc đoạn FC.
Có lẽ đề bài có sự nhầm lẫn. Với giả thiết FI=AH, ta không thể chứng minh AK=KI. Có thể đề bài là FI=CH? Nếu FI=CH, mà CH=FC thì FI=FC⟹I≡C, điều này cũng không thể.

Tôi sẽ giả sử đề bài đúng và tìm cách chứng minh. Ta có △OFC=△OHC⟹FC=HC. Lấy I thuộc FC sao cho FI=AH. Xét △AHK và △IFI? Xét △AHF và △IFH? Có thể sử dụng định lý Menelaus cho △FHI với cát tuyến A-K-I? AIFA​⋅KHIK​⋅FAHF​=1? (sai)

Nếu AK=KI, thì K là trung điểm của AI. Xét △ACI. Nếu K là trung điểm của AI, thì FK là đường trung tuyến của △FAI? Ta có FI=AH (giả thiết), FC=HC (chứng minh trên). △AHC và △FIC. AH=FI (gt), HC=FC (cmt), ∠C chung ⟹△AHC=△FIC (c.g.c). Vậy AC=IC (vô lý).

Có thể đề bài có chút nhầm lẫn về kí hiệu. Giả sử đề bài đúng và AK=KI. K là trung điểm của AI. Xét △FAI có FK là trung tuyến. △FCH cân tại C ⟹ Cạnh đáy FH. K là giao điểm của FH và AI. Ta có FI=AH. Xét △FAI và △AHF? (không có gì đặc biệt) Nếu AK=KI, thì K là trung điểm của AI. Vì F nằm trên BC và H nằm trên AC. Có thể sử dụng tọa độ.

Vì không thể chứng minh được AK=KI từ giả thiết đã cho, ta sẽ tạm dừng phần này và chuyển sang phần b.

 

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng
 

Để chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng, ta có thể chứng minh rằng BK là đường trung tuyến của △ABC? hoặc BK là đường phân giác của ∠B? Hoặc chứng minh ∠OBK=180∘? Hoặc chứng minh BO và BK cùng phương.

Ta có O là giao điểm của các đường phân giác ∠A và ∠C. Vậy BO là đường phân giác của ∠B. Do đó, để chứng minh B, O, K thẳng hàng, ta chỉ cần chứng minh BK là đường phân giác của ∠B. Tức là, ta cần chứng minh K nằm trên tia BO.

Xét △OFH. Ta có OF=OH (khoảng cách từ O đến BC và AC). Vậy △OFH là tam giác cân tại O. Đường phân giác của ∠FOH cũng là đường cao và đường trung tuyến.

Ta có FC=HC. K là giao điểm của FH và AI. Do FC=HC, nên △FCH cân tại C. Đường trung tuyến của △FCH ứng với cạnh FH sẽ đi qua C.

Xét △BFC và △BHC? Ta có FC=HC, BC chung, nhưng ∠BFC=∠BHC. FC=HC⟹ khoảng cách từ F đến B bằng khoảng cách từ H đến B? (sai)

Để chứng minh B, O, K thẳng hàng, ta có thể chứng minh K nằm trên tia phân giác của ∠B. Do đó, ta cần chứng minh K có khoảng cách đến BA và BC bằng nhau. Hoặc chứng minh ∠ABK=∠CBK.

O là giao điểm của các tia phân giác ∠A và ∠C. O cách đều 3 cạnh của △ABC. OF=OH. Gọi D là hình chiếu của O trên AB. OD=OF=OH.

Để chứng minh B, O, K thẳng hàng, ta cần chứng minh K cũng nằm trên đường phân giác của ∠B. Ta có AH=FI. FC=HC. FC=FI+IC⟹HC=AH+IC. Ta có BC,AC,AB. CF=CH⟹ khoảng cách từ C đến F trên BC bằng khoảng cách từ C đến H trên AC. O là tâm đường tròn nội tiếp △ABC.

Xét △OFB và △ODB (D là hình chiếu của O trên AB). OB chung, OF=OD, ∠OFB=∠ODB=90∘. Vậy △OFB=△ODB. ∠OBK=∠OBA.

Để chứng minh B, O, K thẳng hàng, ta sẽ chứng minh K thuộc đường phân giác của ∠B. Tức là chứng minh khoảng cách từ K đến BC bằng khoảng cách từ K đến AB. Hoặc chứng minh KIAK​=BIAB​? (sai)

Đây là một bài toán hình học phẳng khá phức tạp. Phần a, với giả thiết FI=AH, ta không thể chứng minh được AK=KI. Có thể giả thiết phải là FI=CH? Nếu FI=CH, mà CH=FC⟹FI=FC⟹I≡C, cũng không được. Hoặc FI=AH và AK=KI là hai phần độc lập.

Tóm lại:

Phần a:

Chứng minh △FCH cân: Ta có △OFC=△OHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) vì OC chung, OF=OH. Suy ra FC=HC. Vậy △FCH cân tại C.
Chứng minh AK=KI: Với giả thiết FI=AH, việc chứng minh AK=KI gặp nhiều khó khăn và có thể đề bài có sai sót. Nếu AK=KI, thì K là trung điểm của AI.
Phần b:

Chứng minh B, O, K thẳng hàng: Ta đã biết O là giao điểm của các đường phân giác, nên BO là đường phân giác của ∠B. Để chứng minh B, O, K thẳng hàng, ta cần chứng minh K nằm trên đường thẳng BO.
Do có những mâu thuẫn trong phần a, tôi không thể cung cấp một lời giải hoàn chỉnh và chính xác cho cả bài toán.