Cho biểu thức B = [sin (π2- x) + sin (10π +x)]2+[cos ( 3π2 - x) + cos (8π - x)] khi x = 2024π2023 thì B bằng bao nhiêu?

Cho biểu thức B = [sin (π2- x) + sin (10π +x)]2+[cos ( 3π2 - x) + cos (8π

· 10:32 30/07/2025

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Cho biểu thức B = [sin ( $\frac{π}{2}$ - x) + sin (10π +x)]²+[cos ( $\frac{3 π}{2}$ - x) + cos (8π - x)] khi x = $\frac{2024 π}{2023}$ thì B bằng bao nhiêu?

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

4 câu trả lời 940

Sam

4 tháng trước

kết quả

61 bình luận

3 ( 1.0 )

яəlивa · 4 tháng trước

coppy à

Sam · 4 tháng trước

[ B = [\sin(\tfrac{\pi}{2} - x) + \sin(10\pi + x)]^2 + [\cos(\tfrac{3\pi}{2} - x) + \cos(8\pi - x)] ] với ( x = \frac{2024\pi}{2023} ), lại ra được biểu thức: [ B = 1 + \sin\left(\frac{2\pi}{2023}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2023}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2023}\right) ] Bước 1: Nhận dạng các công thức lượng giác Ta dùng các công thức sau: ( \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x ) ( \sin(10\pi + x) = \sin x ) vì ( 10\pi ) là bội của ( 2\pi ) ( \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x ) ( \cos(8\pi - x) = \cos x ) vì ( 8\pi ) là bội của ( 2\pi ) Bước 2: Thay vào biểu thức B [ B = [\cos x + \sin x]^2 + [-\sin x + \cos x] ] Bước 3: Khai triển bình phương [ (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x = 1 + 2\cos x \sin x ] → Vậy: [ B = 1 + 2\cos x \sin x + (\cos x - \sin x) ] Bước 4: Gom lại [ B = 1 + 2\cos x \sin x + \cos x - \sin x ] → Nhóm lại: [ B = 1 + \cos x(2 + 1) + \sin x(-1 + 2) = 1 + 3\cos x + \sin x ] Khoan! Nhưng biểu thức trong ảnh lại là: [ B = 1 + \sin\left(\frac{2\pi}{2023}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2023}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2023}\right) ] → Vậy ta cần biến đổi x = \frac{2024\pi}{2023} để đưa về các góc đơn giản hơn. Bước 5: Phân tích x [ x = \frac{2024\pi}{2023} = \pi + \frac{\pi}{2023} ] → Gọi ( a = \frac{\pi}{2023} ), thì: ( \cos x = \cos(\pi + a) = -\cos a ) ( \sin x = \sin(\pi + a) = -\sin a ) → ( \cos x = -\cos\left(\frac{\pi}{2023}\right) ) → ( \sin x = -\sin\left(\frac{\pi}{2023}\right) ) Bước 6: Thay vào biểu thức B [ B = 1 + 2(-\cos a)(-\sin a) + (-\cos a - (-\sin a)) = 1 + 2\cos a \sin a - \cos a + \sin a ] → Nhớ rằng: ( 2\cos a \sin a = \sin(2a) ) Vậy: [ B = 1 + \sin(2a) - \cos a + \sin a ] → Với ( a = \frac{\pi}{2023} ), ta có: [ \boxed{B = 1 + \sin\left(\frac{2\pi}{2023}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2023}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2023}\right)} ]

...Xem tất cả bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

яəlивa

4 tháng trước

Bằng:

20 bình luận

Sam · 4 tháng trước

tự kiêu ghê

...Xem tất cả bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

꧁༺༒集める☆༒༻꧂

4 tháng trước

Để tính giá trị của biểu thức B, chúng ta cần đơn giản hóa từng thành phần trước, sau đó thay giá trị của x vào.

Biểu thức đã cho là: B=[sin(2π−x)+sin(10π+x)]2+[cos(23π−x)+cos(8π−x)]

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:

sin(2π−x)=cosx
sin(2kπ+x)=sinx (với k là số nguyên)
cos(23π−x)=−sinx
cos(2kπ−x)=cosx (với k là số nguyên)
Áp dụng các công thức này vào biểu thức B:

Phần 1: [sin(2π−x)+sin(10π+x)]2

sin(2π−x)=cosx
sin(10π+x)=sin(5×2π+x)=sinx
Vậy, phần này trở thành [cosx+sinx]2
Khai triển: (cosx+sinx)2=cos2x+2sinxcosx+sin2x
Vì cos2x+sin2x=1 và 2sinxcosx=sin(2x), nên phần này là 1+sin(2x).
Phần 2: [cos(23π−x)+cos(8π−x)]

cos(23π−x)=−sinx
cos(8π−x)=cos(4×2π−x)=cosx
Vậy, phần này trở thành [−sinx+cosx]=cosx−sinx.
Bây giờ, thay các phần đã đơn giản hóa trở lại vào biểu thức B: B=(1+sin(2x))+(cosx−sinx) B=1+sin(2x)+cosx−sinx

Chúng ta có x=20232024π. Ta có thể viết lại x=20232023π+π=π+2023π.

Giờ ta cần tính sin(2x), cosx, và sinx với x=π+2023π.

sinx=sin(π+2023π)=−sin(2023π)
cosx=cos(π+2023π)=−cos(2023π)
sin(2x)=sin(2(π+2023π))=sin(2π+20232π)=sin(20232π)
Thay các giá trị này vào biểu thức B: B=1+sin(20232π)+(−cos(2023π))−(−sin(2023π)) B=1+sin(20232π)−cos(2023π)+sin(2023π)

Để đơn giản hơn nữa, ta dùng công thức sin(2α)=2sinαcosα: sin(20232π)=2sin(2023π)cos(2023π)

Thay vào B: B=1+2sin(2023π)cos(2023π)−cos(2023π)+sin(2023π)

Đây là biểu thức đã đơn giản nhất.

Giá trị cụ thể của B phụ thuộc vào giá trị của sin(2023π) và cos(2023π), không thể tính ra một số nguyên hoặc phân số đơn giản mà không dùng máy tính.

Tuy nhiên, có một cách nhìn khác. Đôi khi các bài toán này có sự rút gọn đặc biệt. Hãy xem lại biểu thức B trước khi thay x: B=(cosx+sinx)2+(cosx−sinx) B=cos2x+2sinxcosx+sin2x+cosx−sinx B=1+sin(2x)+cosx−sinx

Với x=20232024π. Ta có x=π+2023π.

Giá trị chính xác của B là 1+sin(20232π)−cos(2023π)+sin(2023π). Do 2023 là một số nguyên tố và 2023π không phải là góc đặc biệt, nên giá trị của B sẽ là một số vô tỉ.

Vậy, giá trị của B là 1+sin(20232π)−cos(2023π)+sin(2023π).

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Sam

4 tháng trước

Bước 1: Nhận dạng các công thức lượng giác
Ta dùng các công thức sau:

( \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x )
( \sin(10\pi + x) = \sin x ) vì ( 10\pi ) là bội của ( 2\pi )
( \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x )
( \cos(8\pi - x) = \cos x ) vì ( 8\pi ) là bội của ( 2\pi )

Bước 2: Thay vào biểu thức B
[ B = [\cos x + \sin x]^2 + [-\sin x + \cos x] ]

Bước 3: Khai triển bình phương
[ (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x = 1 + 2\cos x \sin x ]

→ Vậy:

[ B = 1 + 2\cos x \sin x + (\cos x - \sin x) ]

Bước 4: Gom lại
[ B = 1 + 2\cos x \sin x + \cos x - \sin x ]

→ Nhóm lại:

[ B = 1 + \cos x(2 + 1) + \sin x(-1 + 2) = 1 + 3\cos x + \sin x ]

Khoan! Nhưng biểu thức trong ảnh lại là:

[ B = 1 + \sin\left(\frac{2\pi}{2023}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2023}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2023}\right) ]

→ Vậy ta cần biến đổi x = \frac{2024\pi}{2023} để đưa về các góc đơn giản hơn.

Bước 5: Phân tích x
[ x = \frac{2024\pi}{2023} = \pi + \frac{\pi}{2023} ]

→ Gọi ( a = \frac{\pi}{2023} ), thì:

( \cos x = \cos(\pi + a) = -\cos a )
( \sin x = \sin(\pi + a) = -\sin a )
→ ( \cos x = -\cos\left(\frac{\pi}{2023}\right) )
→ ( \sin x = -\sin\left(\frac{\pi}{2023}\right) )

Bước 6: Thay vào biểu thức B
[ B = 1 + 2(-\cos a)(-\sin a) + (-\cos a - (-\sin a)) = 1 + 2\cos a \sin a - \cos a + \sin a ]

→ Nhớ rằng:

( 2\cos a \sin a = \sin(2a) )
Vậy:

[ B = 1 + \sin(2a) - \cos a + \sin a ]

→ Với ( a = \frac{\pi}{2023} ), ta có:

[ \boxed{B = 1 + \sin\left(\frac{2\pi}{2023}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2023}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2023}\right)} ]

...Xem thêm

3 bình luận

1 ( 1.0 )

꧁༺༒集める☆༒༻꧂ · 4 tháng trước

ChatGPT đã nói: Ta có biểu thức: 𝐵 = [ sin ⁡ ( 𝜋 2 − 𝑥 ) + sin ⁡ ( 10 𝜋 + 𝑥 ) ] 2 + [ cos ⁡ ( 3 𝜋 2 − 𝑥 ) + cos ⁡ ( 8 𝜋 − 𝑥 ) ] B=[sin( 2 π −x)+sin(10π+x)] 2 +[cos( 2 3π −x)+cos(8π−x)] Với 𝑥 = 2024 𝜋 2023 x= 2023 2024π Bước 1: Rút gọn các biểu thức lượng giác 1. sin ⁡ ( 𝜋 2 − 𝑥 ) = cos ⁡ 𝑥 sin( 2 π −x)=cosx 2. sin ⁡ ( 10 𝜋 + 𝑥 ) = sin ⁡ 𝑥 sin(10π+x)=sinx Vì: sin ⁡ ( 10 𝜋 + 𝑥 ) = sin ⁡ 𝑥 (do 10 𝜋 l a ˋ bội của 2 𝜋 n e ˆ n kh o ˆ ng l a ˋ m thay đổi gi a ˊ trị sin) sin(10π+x)=sinx(do 10π l a ˋ bội của 2π n e ˆ n kh o ˆ ng l a ˋ m thay đổi gi a ˊ trị sin) 3. cos ⁡ ( 3 𝜋 2 − 𝑥 ) = − sin ⁡ 𝑥 cos( 2 3π −x)=−sinx 4. cos ⁡ ( 8 𝜋 − 𝑥 ) = cos ⁡ 𝑥 cos(8π−x)=cosx Vì cos ⁡ ( 8 𝜋 − 𝑥 ) = cos ⁡ 𝑥 cos(8π−x)=cosx (do 8π là bội chẵn của 2π) Thay vào B: 𝐵 = [ cos ⁡ 𝑥 + sin ⁡ 𝑥 ] 2 + [ − sin ⁡ 𝑥 + cos ⁡ 𝑥 ] B=[cosx+sinx] 2 +[−sinx+cosx] Mở bình phương: [ cos ⁡ 𝑥 + sin ⁡ 𝑥 ] 2 = cos ⁡ 2 𝑥 + 2 cos ⁡ 𝑥 sin ⁡ 𝑥 + sin ⁡ 2 𝑥 = 1 + 2 sin ⁡ 𝑥 cos ⁡ 𝑥 [cosx+sinx] 2 =cos 2 x+2cosxsinx+sin 2 x=1+2sinxcosx Tổng toàn biểu thức: 𝐵 = 1 + 2 sin ⁡ 𝑥 cos ⁡ 𝑥 + cos ⁡ 𝑥 − sin ⁡ 𝑥 B=1+2sinxcosx+cosx−sinx Tính giá trị tại 𝑥 = 2024 𝜋 2023 x= 2023 2024π Ta đặt: 𝑥 = 2024 𝜋 2023 = 𝜋 + 𝜋 2023 ⇒ sin ⁡ 𝑥 = sin ⁡ ( 𝜋 + 𝜋 2023 ) = − sin ⁡ ( 𝜋 2023 ) x= 2023 2024π =π+ 2023 π ⇒sinx=sin(π+ 2023 π )=−sin( 2023 π ) cos ⁡ 𝑥 = cos ⁡ ( 𝜋 + 𝜋 2023 ) = − cos ⁡ ( 𝜋 2023 ) cosx=cos(π+ 2023 π )=−cos( 2023 π ) Thay vào B: 𝐵 = 1 + 2 ( − sin ⁡ ( 𝜋 2023 ) ) ( − cos ⁡ ( 𝜋 2023 ) ) + ( − cos ⁡ ( 𝜋 2023 ) ) − ( − sin ⁡ ( 𝜋 2023 ) ) B=1+2(−sin( 2023 π ))(−cos( 2023 π ))+(−cos( 2023 π ))−(−sin( 2023 π )) = 1 + 2 sin ⁡ ( 𝜋 2023 ) cos ⁡ ( 𝜋 2023 ) − cos ⁡ ( 𝜋 2023 ) + sin ⁡ ( 𝜋 2023 ) =1+2sin( 2023 π )cos( 2023 π )−cos( 2023 π )+sin( 2023 π ) Kết luận: Đây là giá trị cụ thể của 𝐵 B theo sin ⁡ ( 𝜋 2023 ) sin( 2023 π ) và cos ⁡ ( 𝜋 2023 ) cos( 2023 π ). Vì 𝜋 2023 2023 π rất nhỏ, nên có thể dùng gần đúng: sin ⁡ ( 𝜋 2023 ) ≈ 𝜋 2023 , cos ⁡ ( 𝜋 2023 ) ≈ 1 − 1 2 ( 𝜋 2023 ) 2 ≈ 1 sin( 2023 π )≈ 2023 π ,cos( 2023 π )≈1− 2 1 ( 2023 π ) 2 ≈1 Khi đó: 𝐵 ≈ 1 + 2 ⋅ 𝜋 2023 ⋅ 1 − 1 + 𝜋 2023 = 3 𝜋 2023 B≈1+2⋅ 2023 π ⋅1−1+ 2023 π = 2023 3π Vậy: 𝐵 ≈ 3 𝜋 2023 B≈ 2023 3π (hoặc giữ nguyên biểu thức chính xác nếu đề yêu cầu dạng chưa gần đúng).