Đây là một bài toán hình học liên quan đến diện tích tam giác và định lý hàm số cos.

Bài toán: Tam giác ABC có diện tích S, góc A là góc nhỏ nhất của tam giác. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho tam giác AMN có diện tích S1​=21​S. Tính độ dài lớn nhất của MN.

Giải:

Mối quan hệ giữa diện tích tam giác AMN và ABC: Diện tích tam giác AMN là S1​=21​AM⋅AN⋅sinA. Diện tích tam giác ABC là S=21​AB⋅AC⋅sinA. Theo đề bài, S1​=21​S. ⇒21​AM⋅AN⋅sinA=21​(21​AB⋅AC⋅sinA) ⇒AM⋅AN=21​AB⋅AC

Đặt AM=x và AN=y. Đặt AB=c và AC=b. Ta có xy=21​bc. Mà M∈AB⇒0<x≤c. Và N∈AC⇒0<y≤b.
Tính độ dài MN theo định lý hàm số cos trong tam giác AMN: Trong tam giác AMN, áp dụng định lý hàm số cosin: MN2=AM2+AN2−2⋅AM⋅AN⋅cosA MN2=x2+y2−2⋅xy⋅cosA Thay xy=21​bc vào: MN2=x2+y2−2⋅(21​bc)⋅cosA MN2=x2+y2−bc⋅cosA
Tìm giá trị lớn nhất của MN: Để MN đạt giá trị lớn nhất, MN2 phải đạt giá trị lớn nhất. Ta có x2+y2≥2x2y2 ​=2xy (Bất đẳng thức AM-GM). Do đó, x2+y2≥2⋅(21​bc)=bc. Dấu bằng xảy ra khi x=y. Nếu x=y, thì x2=21​bc⇒x=2bc​ ​. Điều kiện x≤c và y≤b phải được thỏa mãn. Tức là 2bc​ ​≤c⇒2bc​≤c2⇒2b​≤c⇒b≤2c. Và 2bc​ ​≤b⇒2bc​≤b2⇒2c​≤b⇒c≤2b.

Ta có MN2=x2+y2−bc⋅cosA. Để MN2 lớn nhất, x2+y2 phải lớn nhất (vì bc⋅cosA là một hằng số dương do A là góc nhỏ nhất nên cosA > 0). Ta có xy=21​bc. x2+y2=x2+(2xbc​)2. Hàm số f(x)=x2+x2(bc/2)2​ trên đoạn (0,c] hoặc (0,b] (vì x và y có thể hoán đổi vai trò). Để x2+y2 đạt giá trị lớn nhất, M và N phải nằm ở đầu mút của cạnh (hoặc một trong hai điểm). Tức là x hoặc y (hoặc cả hai) phải đạt giá trị cực đại của nó (c hoặc b).

Trường hợp 1: M trùng với B (tức AM=AB=c). Khi đó x=c. Ta có c⋅AN=21​bc⇒AN=21​b. Vậy M≡B và N là trung điểm của AC. Khi đó MN2=c2+(2b​)2−bccosA. MN2=c2+4b2​−bccosA.
Trường hợp 2: N trùng với C (tức AN=AC=b). Khi đó y=b. Ta có AM⋅b=21​bc⇒AM=21​c. Vậy N≡C và M là trung điểm của AB. Khi đó MN2=(2c​)2+b2−bccosA. MN2=4c2​+b2−bccosA.
So sánh hai trường hợp: Ta cần so sánh c2+4b2​ và 4c2​+b2. c2+4b2​−(4c2​+b2)=43​c2−43​b2=43​(c2−b2). Giá trị này dương nếu c>b, âm nếu c<b, và bằng 0 nếu c=b. Do đó, MN sẽ lớn nhất khi x2+y2 lớn nhất, điều này xảy ra khi một trong x hoặc y đạt giá trị lớn nhất có thể (tức là trùng với đỉnh B hoặc C).

Để MN lớn nhất, ta chọn trường hợp mà cạnh kia dài hơn. Giả sử c≥b. Khi đó c2≥b2. c2+4b2​≥4c2​+b2. Vậy MN2 lớn nhất khi M≡B và N là trung điểm AC. Nếu b≥c. Khi đó 4c2​+b2≥c2+4b2​. Vậy MN2 lớn nhất khi N≡C và M là trung điểm AB.

Kết luận: Giá trị lớn nhất của MN2 sẽ là max(c2+4b2​,4c2​+b2)−bccosA. Hay nói cách khác, MN lớn nhất khi một trong các điểm M hoặc N trùng với đỉnh tương ứng của tam giác ABC (tức M trùng B hoặc N trùng C), và điểm còn lại nằm trên cạnh sao cho diện tích tam giác AMN bằng 1/2 diện tích tam giác ABC.

Vì A là góc nhỏ nhất trong tam giác ABC, nên A≤60∘. Do đó cosA≥cos60∘=21​. Độ dài cạnh đối diện góc A là a. Theo định lý hàm số cos: a2=b2+c2−2bccosA. bccosA=2b2+c2−a2​.

Trường hợp M trùng B: MN2=c2+4b2​−2b2+c2−a2​ MN2=c2+4b2​−2b2​−2c2​+2a2​ MN2=2c2​−4b2​+2a2​
Trường hợp N trùng C: MN2=4c2​+b2−2b2+c2−a2​ MN2=4c2​+b2−2b2​−2c2​+2a2​ MN2=2b2​−4c2​+2a2​
Để tìm giá trị lớn nhất của MN, ta so sánh hai biểu thức trên. Ta có max(c2+4b2​,4c2​+b2)=max(2c2​−4b2​+2a2​,2b2​−4c2​+2a2​). Cái nào lớn hơn sẽ phụ thuộc vào mối quan hệ giữa b và c.

MNmax​=max(c2+4b2​,4c2​+b2)−bccosA ​

Quan sát quan trọng: MN2=x2+y2−2xycosA. Để MN2 lớn nhất, x2+y2 phải lớn nhất. Với tích xy=k không đổi (k=bc/2), tổng x2+y2 lớn nhất khi x và y càng "chênh lệch" nhau càng nhiều, tức là một trong hai biến đạt giá trị cực đại của nó (ví dụ x=c hoặc y=b). Cụ thể, x∈(0,c] và y∈(0,b]. Vì xy=bc/2, khi x=c, thì y=b/2. Khi y=b, thì x=c/2. So sánh c2+(b/2)2 với (c/2)2+b2. c2+b2/4 và c2/4+b2. 43c2​ so với 43b2​. Vậy MN lớn nhất khi M trùng B (nếu c>b) hoặc N trùng C (nếu b>c). Và nếu b=c (tam giác ABC cân tại A), thì cả hai trường hợp đều cho cùng một giá trị MN. Trong trường hợp này, AM=c/2 và AN=b hoặc AM=c và AN=b/2. Nếu c≥b, thì MN lớn nhất khi M≡B và N là trung điểm của AC. MN2=AB2+(2AC​)2−2AB2AC​cosA=c2+4b2​−bccosA. Nếu b≥c, thì MN lớn nhất khi N≡C và M là trung điểm của AB. MN2=(2AB​)2+AC2−22AB​ACcosA=4c2​+b2−bccosA.

Vậy độ dài lớn nhất của MN là: max(c2+4b2​,4c2​+b2)−bccosA ​

Sử dụng định lý hàm số cos cho cạnh a (cạnh đối diện góc A) trong tam giác ABC: a2=b2+c2−2bccosA⇒bccosA=2b2+c2−a2​.

Thay vào biểu thức cho MN2:

Nếu c≥b: MNmax2​=c2+4b2​−2b2+c2−a2​=c2+4b2​−2b2​−2c2​+2a2​ MNmax2​=2c2​−4b2​+2a2​
Nếu b≥c: MNmax2​=4c2​+b2−2b2+c2−a2​=4c2​+b2−2b2​−2c2​+2a2​ MNmax2​=2b2​−4c2​+2a2​
Trong cả hai trường hợp, độ dài lớn nhất của MN là 2a2​+21​max(b2,c2)−41​min(b2,c2) ​.

Lưu ý: Nếu đề bài muốn một giá trị cụ thể không phụ thuộc vào b, c, a thì có thể có điều kiện gì đó chưa được sử dụng. Đề bài cho "góc A là góc nhỏ nhất của tam giác". Điều này có nghĩa là A≤B và A≤C. Suy ra a≤b và a≤c. Điều này quan trọng để đảm bảo cosA là một giá trị dương.

Độ dài lớn nhất của MN không thể biểu diễn một cách đơn giản chỉ bằng S. Ví dụ: Xét tam giác vuông cân tại A: b=c, A=90∘ (không phải góc nhỏ nhất, nhưng để minh họa). S=21​b2. xy=21​b2. MN2=x2+y2. Max MN2 khi x=b,y=b/2 hoặc x=b/2,y=b. MN2=b2+(b/2)2=b2+b2/4=5b2/4. MN=25 ​​b.

Bài toán này có vẻ muốn kết quả cuối cùng không chứa x,y,b,c mà chỉ chứa S và a. Tuy nhiên, nếu không cho thêm mối quan hệ giữa các cạnh, kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào độ dài các cạnh b và c của tam giác ABC.

Nếu câu hỏi là tìm giá trị lớn nhất của MN tuyệt đối mà không phụ thuộc vào hình dạng cụ thể của tam giác ABC (chỉ biết S và A là góc nhỏ nhất), thì bài toán sẽ phức tạp hơn rất nhiều, có thể liên quan đến việc tối ưu hóa trong một không gian các tam giác.

Giả sử đề bài chỉ yêu cầu biểu thức theo a,b,c.

Kết luận cuối cùng (theo biểu thức có a,b,c): Độ dài lớn nhất của MN là: Nếu AB≥AC (tức c≥b), thì MNmax​=2c2​−4b2​+2a2​ ​. Nếu AC≥AB (tức b≥c), thì MNmax​=2b2​−4c2​+2a2​ ​. (Với a,b,c là độ dài các cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC).