Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 9cm . Trên đường chéo AC lấy các điểm M và sao...

· 01:40 29/07/2025

Chương 3: Hình học

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 9cm . Trên đường chéo AC lấy các điểm M và sao cho AM=MN=NC a, Tính diện tích hình vuông ABCD b, Tính diện tích tứ giác BMDN c, Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng BM , Q là trung điểm của đoạn thẳng AB . AP cắt MQ tại H . So sánh diện tích tam giác AHQ và diện tích tam giác MHP

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 136

꧁༺༒集める☆༒༻꧂

4 tháng trước

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một.

a) Tính diện tích hình vuông ABCD

Hình vuông ABCD có cạnh bằng 9cm.

Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh

Diện tích hình vuông ABCD = 9 cm×9 cm=81 cm2.

b) Tính diện tích tứ giác BMDN

Đường chéo AC của hình vuông ABCD. Trên đường chéo AC, ta có AM = MN = NC. Điều này có nghĩa là M và N chia đường chéo AC thành 3 phần bằng nhau.

Vì M và N nằm trên đường chéo AC, và AM = MN = NC, nên M và N cách đều các đỉnh A và C.

Trong hình vuông, hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi O là giao điểm của AC và BD.

O là trung điểm của AC và BD.

Vì AM = MN = NC, mà AC = 3 * AM, nên AO = OC = 3/2 * AM.

Do đó, M và N không phải là trung điểm của AO và OC.

Xét tam giác ABD và tam giác BCD.

Diện tích tam giác ABD = Diện tích tam giác BCD = $\frac{1}{2}$ Diện tích hình vuông ABCD = $\frac{1}{2}$ ×81=40.5 cm2.

Xét tam giác ABD, có BM là một đường thẳng.

Tam giác ABM và tam giác DBM có chung cạnh đáy BM? Không.

Để tính diện tích tứ giác BMDN, ta có thể tính tổng diện tích tam giác BMD và tam giác BND.

Cách 1: Sử dụng chiều cao và đáy.

Kẻ BH vuông góc với AC tại H (H chính là O). Kẻ DK vuông góc với AC tại K (K chính là O).

Diện tích tam giác ABD = $\frac{1}{2}$ × AC × BO.

Diện tích tam giác BCD = $\frac{1}{2}$ × AC × DO.

Mà BO = DO, nên diện tích tam giác ABD = diện tích tam giác BCD.

Trong tam giác ABD, M nằm trên AC.

Diện tích tam giác ABM = $\frac{A M}{A C}$ × Diện tích tam giác ABC.

Diện tích tam giác CBM = $\frac{C M}{A C}$ × Diện tích tam giác ABC.

Vì AM = MN = NC, nên AM = 31 AC. NC = 31 AC. MN = 31 AC. CM = MN + NC = 32 AC.

Diện tích tam giác ABC = 21 Diện tích hình vuông ABCD = 40.5 cm2. Diện tích tam giác ABM = 31×40.5=13.5 cm2. Diện tích tam giác CBM = 32×40.5=27 cm2.

Tương tự, diện tích tam giác ADC = 40.5 cm2. Diện tích tam giác ADN = ACAN× Diện tích tam giác ADC. AN = AM + MN = 32 AC. Diện tích tam giác ADN = 32×40.5=27 cm2. Diện tích tam giác CDN = ACCN× Diện tích tam giác ADC = 31×40.5=13.5 cm2.

Tứ giác BMDN có thể được chia thành hai tam giác BMD và BND. Hoặc có thể tính bằng tổng diện tích hình vuông trừ đi các tam giác AMB, DNC, BNC, AMD. Không, cách đơn giản nhất là nhận thấy: Diện tích tứ giác BMDN = Diện tích tam giác BDM + Diện tích tam giác BDN. Tam giác BDM và tam giác BDN có chung cạnh đáy BD. Chiều cao từ M xuống BD và từ N xuống BD.

Xét đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. O là trung điểm của AC. Ta có AM = MN = NC. Suy ra M, O, N cùng nằm trên AC và O là trung điểm của AC. Do đó, M không phải là trung điểm của AO, N không phải là trung điểm của OC. AM = MN = NC = x. Vậy AC = 3x. AO = OC = 1.5x. OM = AO - AM = 1.5x - x = 0.5x. ON = OC - NC = 1.5x - x = 0.5x. Vậy O là trung điểm của MN.

Xét tứ giác BMDN. Các đỉnh B, D, M, N. BD là một đường chéo của tứ giác BMDN. AC là đường chéo còn lại. Vì BD vuông góc với AC tại O, và O là trung điểm của BD, O cũng là trung điểm của MN. Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình thoi. Vậy BMDN là một hình thoi.

Để tính diện tích hình thoi BMDN, ta sử dụng công thức: 21×d1×d2. Đường chéo d1=BD. Đường chéo d2=MN.

Đường chéo của hình vuông cạnh a là a2 . BD = 92 cm.

Ta có AM = MN = NC. AC là đường chéo của hình vuông = 92 cm. MN = 31AC=31×92 =32 cm.

Diện tích hình thoi BMDN = 21×BD×MN=21×92 ×32 =21×27×(2 )2=21×27×2=27 cm2.

Cách 2: Chia hình vuông thành các phần có diện tích bằng nhau. Nối B với M, B với N, D với M, D với N. Ta có tam giác ABC và tam giác ADC có diện tích bằng nhau và bằng 40.5 cm2. Trong tam giác ABC, BM chia AC thành 3 phần. Diện tích tam giác ABM = 31 Diện tích tam giác ABC = 31×40.5=13.5 cm2. Diện tích tam giác MBN = 31 Diện tích tam giác ABC = 31×40.5=13.5 cm2. Diện tích tam giác NBC = 31 Diện tích tam giác ABC = 31×40.5=13.5 cm2.

Trong tam giác ADC, DN chia AC thành 3 phần. Diện tích tam giác ADN = ACAN× Diện tích tam giác ADC. AN = AM + MN = 32 AC. Diện tích tam giác ADN = 32×40.5=27 cm2. Diện tích tam giác DMN = ACMN× Diện tích tam giác ADC = 31×40.5=13.5 cm2. Diện tích tam giác DNC = ACNC× Diện tích tam giác ADC = 31×40.5=13.5 cm2.

Tứ giác BMDN = Diện tích tam giác BMN + Diện tích tam giác DMN. Diện tích tứ giác BMDN = 13.5 cm2+13.5 cm2=27 cm2.
c) Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng BM, Q là trung điểm của đoạn thẳng AB. AP cắt MQ tại H. So sánh diện tích tam giác AHQ và diện tích tam giác MHP.

Đây là một bài toán về tỉ số diện tích trong tam giác. Xét tam giác ABM. Q là trung điểm của AB. P là trung điểm của BM. MQ là đường trung tuyến của tam giác ABM (xuất phát từ M đến trung điểm của AB). AP là đường trung tuyến của tam giác ABM (xuất phát từ A đến trung điểm của BM). H là giao điểm của hai đường trung tuyến AP và MQ. Do đó, H là trọng tâm của tam giác ABM.

Trong một tam giác, trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần theo tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh. Vậy: AH = 2/3 AP và HP = 1/3 AP. MH = 2/3 MQ và HQ = 1/3 MQ.

Xét tam giác AHQ và tam giác MHP. Hai tam giác này không đồng dạng trực tiếp.

Cách so sánh diện tích: Sử dụng công thức diện tích tam giác bằng 21absinC. Hoặc sử dụng tính chất đường trung tuyến chia tam giác thành các tam giác có diện tích bằng nhau.

Ta có P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của AB. Nối PM, PQ, QA, AM, MB. Xét tam giác ABM. MQ là trung tuyến, nên Diện tích tam giác AMQ = Diện tích tam giác BMQ. AP là trung tuyến, nên Diện tích tam giác ABP = Diện tích tam giác AMP.

Vì H là trọng tâm của tam giác ABM, nó chia tam giác ABM thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau. Đây là một tính chất quan trọng của trọng tâm. Diện tích tam giác AHQ = Diện tích tam giác MHQ = Diện tích tam giác AMH = Diện tích tam giác BHP = Diện tích tam giác MPH = Diện tích tam giác HBP. Không, đây là 3 tam giác có diện tích bằng 1/3 diện tích tam giác lớn. Diện tích tam giác AMH = Diện tích tam giác BMH = Diện tích tam giác ABH.

Để so sánh diện tích tam giác AHQ và tam giác MHP: Diện tích tam giác ABM có 3 đường trung tuyến AP, MQ, BI (với I là trung điểm của AM). Ba đường trung tuyến này chia tam giác ABM thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau: Diện tích tam giác AHQ Diện tích tam giác HQA Diện tích tam giác MHQ Diện tích tam giác MHP Diện tích tam giác PHB Diện tích tam giác HBA

Không, điều này không hoàn toàn đúng. Trọng tâm chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau khi nối trọng tâm với các đỉnh và trung điểm các cạnh đối diện.

Ta có: Diện tích tam giác AHQ và Diện tích tam giác MHP. Trong tam giác ABM: MQ là trung tuyến. SAMQ=SBMQ=21SABM. AP là trung tuyến. SABP=SMPA=21SABM.

Xét tam giác ABM. H là trọng tâm. Ta biết rằng trọng tâm chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau: SAHQ=SQHB=SBHP=SPHM=SHMA=SHMQ. Không, đó là tính chất của các tam giác tạo bởi trung điểm các cạnh và trọng tâm.

Hãy xét tỉ số diện tích trong các tam giác con. Trong tam giác ABM, H là trọng tâm. Điểm Q là trung điểm của AB, P là trung điểm của BM. SAHQ và SMHP.

Ta có: SAHQ=31SABM nếu Q là trung điểm AB, H là trọng tâm. SMHP Xét tam giác AMQ. AP cắt MQ tại H. Vì H là trọng tâm của tam giác ABM, ta có: HQ = 31 MQ HP = 31 AP

SAHQ=21×AH×HQ×sin(∠AHQ) SMHP=21×MH×HP×sin(∠MHP) Mà ∠AHQ=∠MHP (hai góc đối đỉnh). AH = 2 HP và MH = 2 HQ.

Vậy SAHQ=21×AH×HQ×sin(∠AHQ)=21×(2HP)×HQ×sin(∠AHQ)=HP×HQ×sin(∠AHQ) SMHP=21×MH×HP×sin(∠MHP)=21×(2HQ)×HP×sin(∠MHP)=HQ×HP×sin(∠MHP)

Từ đó suy ra SAHQ=SMHP.

Giải thích chi tiết hơn cho phần c: Trong tam giác ABM:

AP là đường trung tuyến (P là trung điểm BM).
MQ là đường trung tuyến (Q là trung điểm AB).
Giao điểm của hai đường trung tuyến là trọng tâm của tam giác. Do đó, H là trọng tâm của tam giác ABM.
Theo tính chất của trọng tâm:

Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn thẳng theo tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh.

AH = 2HP (hoặc AH/HP = 2/1)
MH = 2HQ (hoặc MH/HQ = 2/1)
Xét tam giác AHQ và tam giác MHP:

Góc ∠AHQ và góc ∠MHP là hai góc đối đỉnh, nên ∠AHQ=∠MHP.
Áp dụng công thức diện tích tam giác: S=21absinC SAHQ=21×AH×HQ×sin(∠AHQ) SMHP=21×MH×HP×sin(∠MHP)

Thay thế các tỉ lệ đã biết vào công thức: Vì AH=2HP và MH=2HQ: SAHQ=21×(2HP)×HQ×sin(∠AHQ)=HP×HQ×sin(∠AHQ) SMHP=21×(2HQ)×HP×sin(∠MHP)=HP×HQ×sin(∠MHP)

Vì sin(∠AHQ)=sin(∠MHP), ta có: SAHQ=SMHP.

So sánh: Diện tích tam giác AHQ bằng diện tích tam giác MHP.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết