Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, tích (n+20242025)(n+20252024) chia hết cho 2, ta cần xét tính chẵn lẻ của các thừa số.

Ta biết rằng một số nguyên X chia hết cho 2 nếu X là số chẵn. Tích của hai số nguyên A×B chia hết cho 2 nếu ít nhất một trong hai số A hoặc B là số chẵn.

Bước 1: Xét tính chẵn lẻ của 20242025 Cơ số 2024 là một số chẵn. Lũy thừa của một số chẵn (với số mũ là số tự nhiên lớn hơn 0) luôn là một số chẵn. Vậy, 20242025 là một số chẵn.

Bước 2: Xét tính chẵn lẻ của 20252024 Cơ số 2025 là một số lẻ. Lũy thừa của một số lẻ (với số mũ là số tự nhiên) luôn là một số lẻ. Vậy, 20252024 là một số lẻ.

Bước 3: Xét các trường hợp của n

Trường hợp 1: n là số chẵn

Xét thừa số thứ nhất: n+20242025 Vì n là số chẵn và 20242025 là số chẵn, tổng của hai số chẵn là một số chẵn. Do đó, (n+20242025) là số chẵn.
Vì một trong các thừa số là số chẵn, nên tích (n+20242025)(n+20252024) chia hết cho 2.
Trường hợp 2: n là số lẻ

Xét thừa số thứ hai: n+20252024 Vì n là số lẻ và 20252024 là số lẻ, tổng của hai số lẻ là một số chẵn. Do đó, (n+20252024) là số chẵn.
Vì một trong các thừa số là số chẵn, nên tích (n+20242025)(n+20252024) chia hết cho 2.
Kết luận: Trong cả hai trường hợp n là số chẵn hay n là số lẻ, luôn có ít nhất một thừa số trong tích (n+20242025)(n+20252024) là số chẵn. Do đó, tích này luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.

(Điều phải chứng minh)