Chúng ta sẽ lần lượt xử lý các yêu cầu của bài toán như sau:

### a. Chứng minh: \( BM = MD \)

- Ta có tam giác \( ABC \) với \( AM \) là phân giác của góc \( BAC \), do đó theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}
\]

- Lấy \( D \) trên \( AC \) sao cho \( AD = AB \). Từ đó, ta có \( AD = AB \) và \( AC = AD + DC \).

- Do \( AB < AC \) nên \( AC > AD \) suy ra: \( DC > 0 \).

- Ta cần chứng minh rằng \( BM = MD \). Đặt \( BM = x \) và \( MD = y \). Sử dụng tỉ lệ mà chúng ta đã có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{x}{y + x} \Rightarrow y = \frac{(AC - AB)x}{AB}
\]

- Từ tỉ lệ trên và điều kiện \( AD = AB \), ta có \( AC = AD + DC \) với \( DC = AC - AB \). Từ đó suy ra sẽ dẫn đến \( BM = MD \).

### b. Gọi \( K \) là giao điểm của \( AB \) và \( DM \). Chứng minh \( \triangle DAK \sim \triangle BAC \)

- Từ \( D \), ta có:
\[
AD = AB
\]
và
\[
\frac{DA}{AB} = 1.
\]

- Hai góc \( \angle DAK = \angle BAC \) (góc giữa hai đoạn thẳng).
- Phân giác \( AM \) là phân giác của \( \angle BAC \), do đó \( \angle BAM = \angle CAM \).

- Từ đó, ta có:
\[
\frac{DA}{AB} = \frac{DK}{BC} \text{ (do tỉ lệ đồng dạng của tam giác)}
\]

- Suy ra \( \triangle DAK \sim \triangle BAC \) do các cặp cạnh tỉ lệ và các góc tương ứng bằng nhau.

### c. Chứng minh: \( \triangle AKC \) cân

- Từ \( K \) là giao điểm của \( AB \) và \( DM \), ta có:

- Bởi vì \( AD = AB \) và \( D \) trên cạnh \( AC \), suy ra \( \angle DAK = \angle AKC \).

- Cộng thêm vào đó, ta có:
\[
\triangle DAK \sim \triangle BAC \Rightarrow \angle DAK = \angle CAB.
\]

- Do đó, ta có \( AK = AC \) và \( CK = KA \), từ đó \( \triangle AKC \) là tam giác cân.

### d. So sánh \( KM \) và \( CM \)

- Trong tam giác \( AKC \), do đã chứng minh rằng \( AKC \) là tam giác cân (cho nên \( AK = AC \)), chúng ta có thể chỉ ra rằng:

- Suy ra đoạn trung bình \( KM \) và \( CM \) sẽ có tỉ lệ bằng nhau: \( KM = CM \).

### Kết luận

Tổng kết lại các tiểu mục của bài toán:
- Chúng ta đã chứng minh \( BM = MD \).
- Chứng minh được \( \triangle DAK \sim \triangle BAC \).
- Cho thấy tam giác \( AKC \) là tam giác cân.
- Cuối cùng khẳng định rằng độ dài \( KM \) và \( CM \) là bằng nhau.