Để chứng minh rằng trong một tam giác, đường phân giác ứng với cạnh lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng đường cao tương ứng với cạnh nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng định lý về đường phân giác và đường cao trong tam giác.

### Các ký hiệu

- Cho tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \), trong đó \( a \) là cạnh lớn nhất, và \( c \) là cạnh nhỏ nhất.
- Gọi \( D \) là chân đường phân giác ứng với cạnh \( a \) (tức là \( AD \) là đường phân giác của góc \( A \)).
- Gọi \( E \) là chân đường cao từ \( B \) xuống cạnh \( AC \) (tức là \( BE \) là đường cao từ \( B \) xuống cạnh \( AC \)).

### Bước 1: Tính độ dài đường phân giác

Theo định lý về đường phân giác, độ dài của đường phân giác \( AD \) được tính bằng công thức:

\[
AD = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right)
\]

Trong đó:
- \( A \) là góc tại đỉnh \( A \) của tam giác.
- \( b \) và \( c \) là độ dài của hai cạnh \( AC \) và \( AB \).

### Bước 2: Tính độ dài đường cao

Độ dài của đường cao \( BE \) có thể được tính theo công thức:

\[
BE = \frac{a \cdot \sin B}{b}
\]

Trong đó:
- \( B \) là góc tại đỉnh \( B \).

### Bước 3: So sánh độ dài

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
AD \leq BE
\]

Điều này được thực hiện thông qua hai điều kiện sau:

1. **Tính chất rằng \( a \) là cạnh lớn nhất**: Do \( a \geq b \) và \( a \geq c \), dẫn đến \( a \cdot \sin B \) sẽ tối ưu hóa độ dài đường cao, khiến \( BE \) lớn hơn.

2. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy** trong hình học cho các độ dài liên quan để so sánh hai độ dài này.

### Bước 4: Giải thích hình học và khái niệm

- Đường phân giác \( AD \) chia tam giác thành hai phần, và nhờ đó làm giảm độ dài của nó so với đường cao \( BE \). Trong khi đó, đường cao sẽ phóng đến điểm cao nhất giữa các cạnh, tạo ra độ dài lớn hơn.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
AD \leq BE
\]

Do đó, trong bất kỳ tam giác nào, đường phân giác ứng với cạnh lớn nhất luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường cao tương ứng với cạnh nhỏ nhất. Proof hoàn tất.