A. Tìm x biết: ∣x+1∣+∣x+21​∣+∣x+41​∣+∣x+61​∣=2
Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần xét các trường hợp khác nhau dựa trên các điểm mà biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0. Các điểm đó là: x=−1, x=−21​, x=−41​, x=−61​.

Sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần: −1<−21​<−41​<−61​. Chúng ta sẽ chia trục số thành các khoảng sau:

Trường hợp 1: x≥−61​ Trong trường hợp này, tất cả các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối đều không âm: (x+1)+(x+21​)+(x+41​)+(x+61​)=2 4x+(1+21​+41​+61​)=2 4x+(1212​+126​+123​+122​)=2 4x+1223​=2 4x=2−1223​=1224−23​=121​ x=121​×41​=481​ Vì 481​≥−61​ (tương đương 481​≥−488​), nghiệm x=481​ thỏa mãn trường hợp này.
Trường hợp 2: −41​≤x<−61​ Trong trường hợp này: (x+1)>0, (x+21​)>0, (x+41​)≥0, (x+61​)<0 (x+1)+(x+21​)+(x+41​)−(x+61​)=2 3x+(1+21​+41​−61​)=2 3x+(1212​+126​+123​−122​)=2 3x+1219​=2 3x=2−1219​=1224−19​=125​ x=125​×31​=365​ Tuy nhiên, 365​≈0.139, trong khi −41​=−0.25 và −61​≈−0.167. Vậy 365​ không nằm trong khoảng [−41​,−61​). Trường hợp này không có nghiệm.
Trường hợp 3: −21​≤x<−41​ Trong trường hợp này: (x+1)>0, (x+21​)≥0, (x+41​)<0, (x+61​)<0 (x+1)+(x+21​)−(x+41​)−(x+61​)=2 2x+(1+21​−41​−61​)=2 2x+(1212​+126​−123​−122​)=2 2x+1213​=2 2x=2−1213​=1224−13​=1211​ x=1211​×21​=2411​ Tuy nhiên, 2411​≈0.458, trong khi −21​=−0.5 và −41​=−0.25. Vậy 2411​ không nằm trong khoảng [−21​,−41​). Trường hợp này không có nghiệm.
Trường hợp 4: −1≤x<−21​ Trong trường hợp này: (x+1)≥0, (x+21​)<0, (x+41​)<0, (x+61​)<0 (x+1)−(x+21​)−(x+41​)−(x+61​)=2 −2x+(1−21​−41​−61​)=2 −2x+(1212​−126​−123​−122​)=2 −2x+121​=2 −2x=2−121​=1224−1​=1223​ x=1223​×(−21​)=−2423​ Vì −1=−2424​≤−2423​<−21​=−2412​, nghiệm x=−2423​ thỏa mãn trường hợp này.
Trường hợp 5: x<−1 Trong trường hợp này, tất cả các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối đều âm: −(x+1)−(x+21​)−(x+41​)−(x+61​)=2 −4x−(1+21​+41​+61​)=2 −4x−1223​=2 −4x=2+1223​=1224+23​=1247​ x=1247​×(−41​)=−4847​ Vì −4847​≈−0.979, trong khi −1=−4848​. Vậy −4847​>−1. Trường hợp này không có nghiệm.
Vậy, các nghiệm của phương trình là x=481​ và x=−2423​.

B. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD gấp 3 lần đáy nhỏ BC. Tính diện tích hình thang biết diện tích hình tam giác BCD là 54 cm²
Gọi chiều cao của hình thang là h. Diện tích tam giác BCD được tính bằng: SBCD​=21​×BC×h=54 cm²

Diện tích hình thang ABCD được tính bằng: SABCD​=21​×(AD+BC)×h Theo đề bài, AD=3×BC. Thay vào công thức diện tích hình thang: SABCD​=21​×(3×BC+BC)×h=21​×4×BC×h=2×BC×h

Từ diện tích tam giác BCD, ta có BC×h=54×2=108. Thay vào công thức diện tích hình thang: SABCD​=2×(BC×h)=2×108=216 cm²

Vậy diện tích hình thang ABCD là 216 cm².

C. Cho M=1×2022+2×2021+3×2020+...+2022×11+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+2022)​. So sánh M với 1
Tính tử số: Tổng của n số tự nhiên đầu tiên là 2n(n+1)​. Vậy tử số có thể viết là: T=∑n=12022​2n(n+1)​=21​∑n=12022​(n2+n)=21​(∑n=12022​n2+∑n=12022​n)

Ta có công thức: ∑n=1N​n=2N(N+1)​ ∑n=1N​n2=6N(N+1)(2N+1)​

Với N=2022: ∑n=12022​n=22022×2023​ ∑n=12022​n2=62022×2023×(2×2022+1)​=62022×2023×4045​

T=21​(62022×2023×4045​+22022×2023​) T=42022×2023​(34045​+1)=42022×2023​×34048​=32022×2023×1012​

Tính mẫu số: Mẫu số là Ms​=∑k=12022​k×(2022−k+1)=∑k=12022​(2023k−k2)=2023∑k=12022​k−∑k=12022​k2 Ms​=2023×22022×2023​−62022×2023×4045​ Ms​=2022×2023(22023​−64045​)=2022×2023(66069−4045​)=2022×2023×62024​=2022×2023×31012​

So sánh M với 1: M=Ms​T​=2022×2023×31012​32022×2023×1012​​=1

Vậy M=1.