Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. Xác định kích thước của đáy bể cá:

Bác Lan cắt bỏ đi các hình vuông cạnh x ở bốn góc của tấm kính hình vuông cạnh a.
Vậy, chiều dài và chiều rộng của đáy bể cá hình hộp chữ nhật sẽ là a−2x.
2. Xác định chiều cao của bể cá:

Khi gấp các cạnh lên để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp, chiều cao của bể cá chính là cạnh của hình vuông bị cắt bỏ, tức là x.
Theo đề bài, chiều cao bể cá lớn hơn 3a​, vậy x>3a​.
3. Viết công thức tính thể tích của bể cá:

Thể tích V của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: V=chieˆˋu daˋi×chieˆˋu rộng×chieˆˋu cao.
Trong trường hợp này, V(x)=(a−2x)(a−2x)x=x(a−2x)2=x(a2−4ax+4x2)=4x3−4ax2+a2x.
4. Tìm giá trị của x để thể tích lớn nhất:

Để tìm giá trị của x làm cho thể tích V(x) lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của V(x) theo x và giải phương trình V′(x)=0.
V′(x)=dxd​(4x3−4ax2+a2x)=12x2−8ax+a2.
Giải phương trình 12x2−8ax+a2=0. Đây là một phương trình bậc hai theo x. Ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x=2a−b±b2−4ac ​​ Trong đó a=12, b=−8a, c=a2. x=2(12)−(−8a)±(−8a)2−4(12)(a2) ​​ x=248a±64a2−48a2 ​​ x=248a±16a2 ​​ x=248a±4a​ Ta có hai nghiệm: x1​=248a+4a​=2412a​=2a​ x2​=248a−4a​=244a​=6a​
5. Kiểm tra điều kiện và xác định giá trị x tối ưu:

Theo điều kiện đề bài, chiều cao bể cá x>3a​.
Ta thấy x1​=2a​>3a​ và x2​=6a​<3a​.
Vậy, giá trị x=2a​ thỏa mãn điều kiện về chiều cao.
6. Kết luận về chiều cao nguyên dương:

Chiều cao của bể cá là x=2a​.
Vì đề bài yêu cầu chiều cao nguyên dương, nên giá trị 2a​ phải là một số nguyên dương. Điều này có nghĩa là a phải là một số chẵn dương.
Vậy, chiều cao nguyên dương của bể cá để thể tích phần chứa nước lớn nhất là 2a​, với điều kiện a là một số chẵn dương và a>3a​×2=32a​ (điều này luôn đúng với a>0).
Trả lời: Chiều cao nguyên dương của bể cá là a/2​, với điều kiện a là một số chẵn dương.