Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định kích thước khu đất hình vuông:

Diện tích khu đất hình vuông là 100 m².
Gọi cạnh của hình vuông là a. Ta có a2=100, suy ra a=10 m (vì chiều dài cạnh phải dương).
2. Xác định vị trí chiếc cọc:

Chiếc cọc cách hai cạnh của mảnh đất lần lượt là 1 m và 2 m.
Ta có thể thiết lập một hệ tọa độ Oxy với một góc của khu đất hình vuông là gốc O, và hai cạnh kề nhau nằm trên trục Ox và Oy.
Giả sử cọc có tọa độ (xc​,yc​). Theo đề bài, khoảng cách từ cọc đến một cạnh là 1 m và đến cạnh kia là 2 m. Vậy tọa độ của cọc có thể là (1,2) hoặc (2,1) tùy thuộc vào cách chọn hệ tọa độ. Tính đối xứng của bài toán không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng, ta có thể chọn cọc có tọa độ (1,2).
3. Xác định mảnh đất hình tam giác vuông:

Mảnh đất hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông nằm trên cạnh của khu đất hình vuông ban đầu.
Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là x và y. Vì chúng nằm trên cạnh của hình vuông có chiều dài 10 m, nên 0<x≤10 và 0<y≤10.
Cạnh còn lại của tam giác đi qua chiếc cọc có tọa độ (1,2).
4. Tìm phương trình đường thẳng đi qua chiếc cọc và cắt hai cạnh của hình vuông:

Giả sử hai cạnh góc vuông của tam giác nằm trên trục Ox và Oy. Hai đỉnh góc vuông của tam giác trùng với gốc tọa độ O.
Đỉnh còn lại của cạnh huyền nằm trên đường thẳng đi qua (x,0) và (0,y). Phương trình đường thẳng này là xX​+yY​=1.
Vì chiếc cọc (1,2) nằm trên đường thẳng này, ta có:x1​+y2​=1
5. Tính diện tích mảnh đất hình tam giác vuông:

Diện tích của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông x và y là S=21​xy.
6. Tìm diện tích lớn nhất của mảnh đất hình tam giác vuông:

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của S=21​xy với điều kiện x1​+y2​=1 và 0<x≤10, 0<y≤10.
Từ điều kiện x1​+y2​=1, ta có thể biểu diễn y theo x (hoặc ngược lại):y2​=1−x1​=xx−1​y=x−12x​

Thay biểu thức của y vào công thức diện tích:S(x)=21​x(x−12x​)=x−1x2​

Để tìm giá trị lớn nhất của S(x), ta cần tìm đạo hàm của S(x) theo x và giải phương trình S′(x)=0.S′(x)=(x−1)22x(x−1)−x2(1)​=(x−1)22x2−2x−x2​=(x−1)2x2−2x​

Đặt S′(x)=0, ta có x2−2x=0, suy ra x(x−2)=0. Các nghiệm là x=0 (loại vì x>0) và x=2.

Khi x=2, ta có y=2−12×2​=14​=4. Diện tích khi x=2,y=4 là S=21​×2×4=4m2.

Tuy nhiên, ta cần xem xét các giới hạn của x và y. Vì cạnh huyền đi qua cọc nằm cách các cạnh lần lượt 1m và 2m, tam giác vuông tạo thành phải bao trọn chiếc cọc. Điều này ngụ ý rằng x>1 và y>2.

Xét lại hàm S(x)=x−1x2​ trên khoảng (1,10]. Ta thấy S′(x)=(x−1)2x(x−2)​.

Khi 1<x<2, S′(x)<0, hàm S(x) nghịch biến.
Khi 2<x≤10, S′(x)>0, hàm S(x) đồng biến.
Vậy hàm S(x) đạt giá trị cực tiểu tại x=2. Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần xét các giới hạn của x và y dựa trên vị trí của cọc.

Do cạnh huyền đi qua điểm (1,2), và cắt các trục tại (x,0) và (0,y) với x>1 và y>2. Khi x tiến gần đến 1 từ bên phải (x→1+), y=x−12x​→+∞, và S(x)=x−1x2​→+∞. Khi y tiến gần đến 2 từ bên phải (y→2+), x1​=1−y2​→1−1=0, suy ra x→+∞, và S(x)→+∞.

Tuy nhiên, chúng ta có giới hạn khu đất ban đầu là hình vuông cạnh 10m. Cạnh huyền của tam giác vuông giao với các cạnh của hình vuông.

Xét phương trình đường thẳng xX​+yY​=1 đi qua (1,2). Ta có x1​+y2​=1. Diện tích tam giác là S=21​xy. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho x1​ và y2​:1=x1​+y2​=x1​+y1​+y1​≥33x1​⋅y1​⋅y1​ ​=33xy21​ ​271​≥xy21​⟹xy2≥27.

Cách khác: Sử dụng trực tiếp điều kiện x1​+y2​=1.1=x1​+y2​≥2xy2​ ​1≥4xy2​⟹xy≥8. Diện tích S=21​xy≥4.