[Bài toán]
Cho tam giác ABC vuông tại A, có số đo góc C = 52°. Trên tia đối tia AC lấy D sao cho AD = AC.
a) Tính số đo góc B và so sánh các góc của tam giác DBC.
b) Chứng minh: tam giác ABC = tam giác ABD.
c) Đường trung tuyến DE của tam giác BCD cắt AB tại I. Chứng minh: I là trọng tâm tam giác BCD và tính AI, biết AB = 24 cm.
d) Gọi F là trung điểm BD, K là trung điểm CI. Chứng minh: I là trung điểm KF.

[Phân tích]
- Tam giác ABC vuông tại A, có góc C = 52°.
- D thuộc tia đối của AC sao cho AD = AC.
- DE là trung tuyến của tam giác BCD.
- F là trung điểm BD, K là trung điểm CI.

[Giải pháp]
a) Tính số đo góc B và so sánh các góc của tam giác DBC.
- Trong tam giác ABC vuông tại A:
[hat{B} = 90° - hat{C} = 90° - 52° = 38°]
- Xét tam giác DBC, có AC = AD nên A là trung điểm của CD.
- Tam giác ABC = tam giác ABD (c.g.c) (chứng minh ở câu b) => BC = BD
=> Tam giác DBC cân tại B
=> [hat{D} = hat{C} = 52°]
[hat{DBC} = 180° - 2 * 52° = 180° - 104° = 76°]
So sánh các góc của tam giác DBC: [hat{DBC} > hat{D} = hat{C}]

b) Chứng minh: tam giác ABC = tam giác ABD.
- Xét tam giác ABC và tam giác ABD, có:
AB chung
[hat{BAC} = hat{BAD} = 90°]
AC = AD (gt)
=> Tam giác ABC = tam giác ABD (c.g.c)

c) Đường trung tuyến DE của tam giác BCD cắt AB tại I. Chứng minh: I là trọng tâm tam giác BCD và tính AI, biết AB = 24 cm.
- Vì tam giác ABC = tam giác ABD (cmt) => BC = BD.
- E là trung điểm CD (do DE là trung tuyến)
- Gọi I là giao điểm của DE và AB.
- Trong tam giác BCD, DE là trung tuyến.
- Ta có: AB vuông góc CD tại A (do tam giác ABC vuông tại A)
=> AB là đường cao của tam giác BCD.
=> I là trực tâm của tam giác BCD.
- Vì tam giác BCD cân tại B (do BC = BD) và DE là trung tuyến => DE cũng là đường cao.
=> DE vuông góc CD.
- Do đó, DE trùng với AB.
- Mà DE là trung tuyến => I là trọng tâm của tam giác BCD.
- Vì I là trọng tâm của tam giác BCD => AI = 1/3 AB
=> AI = (1/3) * 24 = 8 cm.

d) Gọi F là trung điểm BD, K là trung điểm CI. Chứng minh: I là trung điểm KF.
- Gọi F là trung điểm BD.
- Gọi K là trung điểm CI.
- Xét tam giác BCD, có:
E là trung điểm CD, F là trung điểm BD => EF là đường trung bình của tam giác BCD.
=> EF // BC và EF = 1/2 BC.
- Vì I là trọng tâm tam giác BCD => BI = 2/3 BE.
- Gọi M là trung điểm BI.
- Xét tam giác BIC, có:
K là trung điểm CI, M là trung điểm BI => MK là đường trung bình của tam giác BIC.
=> MK // BC và MK = 1/2 BC.
=> EF // MK và EF = MK.
=> Tứ giác MEFK là hình bình hành.
- Mà I là giao điểm của ME và KF => I là trung điểm của KF.

[Đáp án]
a) [hat{B} = 38°], [hat{DBC} > hat{D} = hat{C}]
b) Tam giác ABC = tam giác ABD (c.g.c)
c) I là trọng tâm tam giác BCD, AI = 8 cm.
d) I là trung điểm KF.