Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Ta có: ˆBECBEC^= 90° (CE ^ AB), ˆBDCBDC^= 90° (BD ^ AC)

Þ ˆBEC=ˆBDCBEC^=BDC^ = 90°

Mà ˆBECBEC^ và ˆBDCBDC^ là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC của tứ giác BEDC.

Þ Tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O) đường kính AM

Nên ˆACMACM^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà AH cắt BC tại F nên AF ⊥ BC do đó ˆAFB=90°AFB^=90°

Suy ra ˆACM=ˆAFBACM^=AFB^ = 90°

Xét ∆ACM và ∆ABF, có:

ˆACM=ˆAFBACM^=AFB^ = 90° (chứng minh trên),

ˆABC=ˆAMCABC^=AMC^(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Þ ∆ACM ᔕ ∆AFB (g.g)

Þ ACAF=AMABACAF=AMAB (tỉ số đồng dạng)

Þ AB.AC = AF.AM (đpcm).

c) • Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (chứng minh câu a)

Þ ˆEDC=ˆECBEDC^=ECB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Hay ˆKDB=ˆKCEKDB^=KCE^

Xét DKDB và DKCE có:

ˆKDB=ˆKCEKDB^=KCE^ (Chứng minh trên),

ˆDKCDKC^ là góc chung

Þ DKDB ᔕ DKCE (g.g)

⇒KDKC=KBKE⇒KDKC=KBKE (tỉ số đồng dạng)

Þ KB.KC = KD.KE (1)

• Tứ giác ANBC nội tiếp

⇒ˆKBN=ˆKAC⇒KBN^=KAC^

Xét DKBN và DKAC có:

ˆAKCAKC^ là góc chung,

ˆKBN=ˆKACKBN^=KAC^ (chứng minh trên)

Þ DKBN ᔕ DKAC (g.g)

⇒KBKA=KNKC⇒KBKA=KNKC (tỉ số đồng dạng)

Þ KB. KC = KA.KN (2)

Từ (1) và (2) ta có:

KD.KE = KA.KN (= KB. KC)

⇒KEKA=KNKD⇒KEKA=KNKD

Xét DKNE và DKAD có:

ˆAKDAKD^ là góc chung,

KEKA=KNKDKEKA=KNKD (chứng minh trên)

Þ DKNE ᔕ DKAD (c.g.c)

⇒ˆKEN=ˆKAD⇒KEN^=KAD^ (hai góc tương ứng)

Þ Tứ giác ANED nội tiếp đường tròn.

Do đó 4 điểm A, N, E, D cùng thuộc một đường tròn (3)

• Tứ giác AEHD có ˆAEH=ˆADH(=90°)AEH^=ADH^=90°

Þ E và D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Þ 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm A, N, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Do đó tứ giác ANHD nội tiếp đường tròn

⇒ˆANH=90°⇒ANH^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AN ⊥ HN tại N (5)

• Ta có điểm N nằm trên đường tròn đường kính AM

⇒ˆANM⇒ANM^ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AN ⊥ MN tại N (6)

Từ (5) và (6) ta có: MN ≡ HN

Do đó ba điểm N, H, M thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2